Рис. 4. Разделение области на подобласти
вид
˜
u
K
=
3
X
j
=1
u
K
j
(
t
)
ϕ
j
(
x, y
)
.
Такое представление решения позволяет свести систему дифференци-
альных уравнений в частных производных к системе обыкновенных
дифференциальных уравнений относительно
u
K
i
(
t
)
путем интегриро-
вания исходных уравнений по ячейке с весами
ϕ
i
(
x, y
)
:
du
K
i
dt
=
L
(˜
u
K
,
˜
u
Q
(
K
)
)
, i
= 1
,
2
,
3
, K
= 1
, . . ., N.
Здесь
Q
(
K
)
— номера элементов, граничащих с элементом
K
. Правая
часть каждого уравнения зависит только от решения на
K
-м треуголь-
нике и соседних с ним треугольниках.
В результате для сетки из
N
ячеек получаем систему
3
N
обык-
новенных дифференциальных уравнений, которая может быть решена
явным двухшаговым методом Рунге–Кутты.
Идея распараллеливания алгоритма RKDG-метода состоит в раз-
делении расчетной области на несколько подобластей (по числу ком-
пьютеров в сети). Каждый компьютер определяет решение на новом
временн´ом слое только в своей подобласти. Для этого с предыдущего
слоя ему необходимы данные о решении в своей подобласти, а также
в ячейках, граничащих с ней. На рис. 4 приведен пример разделе-
ния области на 3 подобласти; ячейки, принадлежащие разным под-
областям, затенены, приграничные ячейки выделены полужирными
линиями.
Таким образом, между компьютерами необходимо организовать об-
мен данными о решении только в приграничных ячейках. Эффектив-
ность предложенного алгоритма обеспечивается относительно неболь-
шим числом приграничных ячеек по сравнению с общим числом ячеек
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2009. № 1
95
