Пределы изменения бисферических координат суть:
|
μ
|
<
∞
,
0
< η < π,
0
< ϕ <
2
π.
Распределение в свободном от электрических зарядов простран-
стве потенциала электростатического поля описывается уравнением
Лапласа
Δ
ψ
=
1
h
3
μ
∂
∂μ
h
μ
∂ψ
∂μ
+
1
sin
η
∂
∂η
h
μ
sin
η
∂ψ
∂η
+
h
μ
sin
2
η
∂
2
ψ
∂ϕ
2
= 0
.
(2)
Уравнение Лапласа в бисферических координатах допускает раз-
деление переменных
ψ
=
p
ch
μ
−
cos
η
∙
M
(
μ
)
H
(
η
) Φ(
ϕ
)
.
Система обыкновенных дифференциальных уравнений для опре-
деления функций
Φ(
ϕ
)
,
M
(
μ
)
и
H
(
η
)
имеет вид
d
2
Φ
dϕ
2
=
−
m
2
Φ
,
d
2
M
dμ
2
=
n
+
1
2
M,
1
sin
η
d
dη
sin
η
dH
dη
+
n
(
n
+ 1)
−
m
2
sin
2
η
H,
где
m
и
n
— целые числа
(
m
6
n
)
.
Элементарное решение уравнения (2) имеет форму
p
ch
μ
−
cos
η
∙
e
±
n
+
1
2
∙
μ
P
m
n
(cos
η
)
,
где
P
m
n
(cos
η
)
— присоединенные полиномы Лежандра. В задачах с
осевой симметрией (рассматриваемый случай) параметр
m
= 0
, по-
скольку потенциал электростатического поля не должен зависеть от
угловой координаты
ϕ
. При этом элементарное решение приобретает
форму
p
ch
μ
−
cos
η
∙
e
±
(
n
+
1
2
)
∙
μ
P
(
n
cos
η
)
,
где
P
n
(cos
η
)
— полином Лежандра степени
n
.
Общее решение уравнения Лапласа (2) можно записать в виде
ψ
=
p
ch
μ
−
cos
η
∙
∞
X
n
=0
A
n
e
n
+
1
2
μ
+
B
n
e
−
n
+
1
2
μ
P
n
(cos
η
)
.
Уравнение
μ
= 0
определяет в пространстве поверхность сфе-
ры, центр которой лежит на оси симметрии. Допустим, что сфери-
ческие поверхности, описываемые уравнениями
μ
=
μ
1
=
const и
90
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2007. № 1
