F
21
=
√
2
p
ch
μ
2
−
cos
η
×
∞
X
n
=0
n
+
1
2
1
sh(
n
+ 1
/
2)(
μ
1
−
μ
2
)
e
−
(
n
+1
/
2)
|
μ
1
|
P
n
(cos
η
)
,
(5)
F
22
=
∞
X
n
=0
1
√
2
sh
μ
2
√
ch
μ
2
−
cos
η
+
√
2
p
ch
μ
2
−
cos
η
×
×
n
+
1
2
ch(
n
+ 1
/
2)(
μ
2
−
μ
1
)
sh(
n
+ 1
/
2)(
μ
2
−
μ
1
)
!
e
−
(
n
+1
/
2)
|
μ
2
|
P
n
(cos
η
)
.
Площадь элементарного участка поверхности сферы, описываемой
уравнением
μ
=
const, имеет вид
dS
=
h
η
h
ϕ
dη dϕ
=
a
2
sin
η
(ch
μ
−
cos
η
)
2
.
Зависимости (4), (5) позволяют рассчитать суммарные величины
электрических зарядов на рассматриваемых сферических поверхно-
стях:
Q
1
(
a, μ
1
, μ
2
, V
1
, V
2
) =
2
π
Z
0
π
Z
0
σ
1
a
2
sin
η dη dϕ
(ch
μ
1
−
cos
η
)
2
,
Q
2
(
a, μ
1
, μ
2
, V
1
, V
2
) =
2
π
Z
0
π
Z
0
σ
2
a
2
sin
η dη dϕ
(ch
μ
2
−
cos
η
)
2
.
Интегрирование по угловой координате
ϕ
сводится к умножению
подынтегрального выражения на величину
2
π
, а интегрирование по
переменной
η
может быть выполнено в аналитической форме с учетом
известного соотношения:
1
√
ch
μ
−
cos
η
=
√
2
∙
∞
X
n
=0
e
−
(
n
+
1
2
)
|
μ
|
P
n
(cos
η
)
,
и условия ортогональности полиномов Лежандра:
π
Z
0
P
m
(cos
η
)
P
n
(cos
η
) sin
η dη
=
0
при
m
6
=
n,
2
2
n
+ 1
при
n
=
m.
Окончательные выражения для расчета величин электрического за-
ряда на поверхностях рассматриваемых сфер имеют вид
Q
1
=
Q
11
V
1
+
Q
12
V
2
, Q
2
=
Q
21
V
1
+
Q
22
V
2
,
(6)
92
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2007. № 1
