неубывающей, т.е.
`
Q
(
x
)
↑
x.
(3)
Рассмотрение невозрастающих функций
`
Q
(
x
)
проводится анало-
гично. Более того, в полученных результатах достаточно заменить
функцию
ϕ
на
−
ϕ
.
Отметим, что необходимость введения условия (3) требует реше-
ния ряда практических задач (например, теории надежности [1]).
Вместо функционала (2) будем оценивать более общий линейный
функционал
R
Q
(
π, F, G
) :=
Z
dπ`
Q
(
x
) =
Z
dπ
Z
ϕ
(
y
)
dQ
(
y
|
x
)
.
(4)
Здесь
π
(
x
)
— известное распределение с
χ
π
χ
F
(
χ
F
— множество
точек роста распределения
F
(
x
))
.
Нетрудно видеть, что в такой постановке задача представляет со-
бой бесконечномерный аналог линейного программирования.
Обозначим
S
(
F, G
)
множество всех условных распределений
Q
(
y
|
x
)
, удовлетворяющих условиям (1) и (4). В работе [2] рассма-
тривалась задача о нахождении абсолютных экстремумов
m
(
π, F, G
) := inf
Q
2
S
(
F,G
)
R
Q
(
π, F, G
)
,
(5)
M
(
π, F, G
) := sup
Q
2
S
(
F,G
)
R
Q
(
π, F, G
)
(6)
функционала
R
Q
(
π, F, G
)
на множестве
S
(
F, G
)
. Там же было доказа-
но, что основная трудность в решении этой задачи состоит в опреде-
лении так называемого
(
π, F
)
-разбиения. Сформулируем это понятие
применительно к абсолютному минимуму (5).
Определим вначале такое разбиение числовой оси
R
1
на систему
непересекающихся промежутков
I
α
(
α
— любое число из
I
α
)
, которое
удовлетворяло бы трем условиям.
1.
I
α
∩
χ
F
6
=
?
для каждого
I
α
, причем
∪
α
I
α
=
R
1
,
I
α
∩
I
β
=
?
при
α
6
=
β
.
2. Для любого промежутка
I
α
F
(
x
|
I
α
)
>
π
(
x
|
I
α
)
,
(7)
где
F
(
x
|
I
α
) :=
P
F
(
ξ < x
|
ξ
2
I
α
)
,
π
(
x
|
I
α
) :=
P
π
(
ξ < x
|
ξ
2
I
α
)
. Записи
P
F
и
P
π
означают, что вероятностные меры порождены распределени-
ями
F
(
x
)
и
π
(
x
)
соответственно.
3. Условие 2 не должно выполняться для любого объединения
∪
α
6
i
6
β
I
i
, если его можно разбить на два таких подмножества
∪
α
6
i<k
I
i
и
∪
k
6
i
6
β
I
i
, что
P
F
∪
α
6
i<k
I
i
>
0
и
P
F
∪
k
6
i
6
β
I
i
>
0
.
26
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2006. № 4
