МАТЕМАТИКА
УДК 621.192.3
Г. Д. К а р т а ш о в
ОЦЕНИВАНИЕ ЛИНЕЙНОГО ФУНКЦИОНАЛА
ОТ ДВУМЕРНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
ПРИ МАРГИНАЛЬНОМ ОГРАНИЧЕНИИ
Доказан ряд утверждений, упрощающих нахождение экстремумов
линейного функционала от двумерного распределения при заданных
маргинальных законах
Для лучшего понимания излагаемого материала рассмотрим одну
из классических задач математической статистики. Имеется случай-
ный вектор (
ξ, η
)
, требуется оценить коэффициент корреляции. Из-
вестно, что для этого необходимо знание реализации этого вектора
z
i
= (
ξ
i
, η
i
)
. Другими словами, компоненты вектора должны быть од-
новременно наблюдаемы. Имеется широкий круг практических задач,
когда это невозможно сделать. Например, для технического изделия
нельзя измерить его моменты отказов в различных режимах испыта-
ний и в этом случае нельзя восстановить совместную функцию распре-
деления моментов. В подобных случаях приходится довольствоваться
приближенными методами. Одна из задач такого класса и рассматри-
вается в настоящей статье.
Пусть
(
ξ, η
)
— случайный вектор, а
Q
(
y
|
x
) :=
P
(
η < y
|
ξ
=
x
)
—
условное распределение. Предполагается, что функция
Q
(
y
|
x
)
неиз-
вестна, а заданы только маргинальные законы
F
(
x
) :=
P
(
ξ < x
)
и
G
(
y
) :=
P
(
η < y
)
. В этом случае распределение
Q
(
y
|
x
)
не может быть
произвольным и должно удовлетворять маргинальному уравнению
Z
Q
(
y
|
x
)
dF
(
x
) =
G
(
y
)
.
(1)
Введем линейный функционал
`
Q
(
x
) :=
Z
ϕ
(
y
)
dQ
(
y
|
x
)
,
(2)
где
ϕ
— известная борелевская функция на
R
1
с
Z
|
ϕ
(
y
)
|
dG
(
y
)
<
∞
.
Наложим на функционал (2), точнее на распределение
Q
(
y
|
x
)
, сле-
дующее ограничение. Потребуем, чтобы функция
`
Q
(
x
)
по
x
была бы
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2006. № 4
25
