Лемма
[2].
Если отношение вероятностей
γ
(
x
)
монотонно убы-
вает на промежутке
(
a, b
)
, то каждая точка
x
2
(
a, b
)
является пре-
дельной группой. Если же оно не убывает на промежутке
I
(
a, b
)
,
то множество
I
принадлежит одной предельной группе.
Рассмотрим теперь случай, когда отношение вероятностей
γ
(
x
)
имеет один экстремум на промежутке
(
a, b
)
.
Теорема 1.
Пусть функции
f
(
x
)
и
n
(
x
)
дифференцируемы на про-
межутке
(
a, b
)
, т.е.
f
(
x
)
, n
(
x
)
2
C
0
[(
a, b
)]
.
Существует единственный экстремум функции
γ
(
x
)
в точке
ˉ
x, a <
ˉ
x < b
, тогда
а) если
ˉ
x
— точка минимума и
lim
x
→
a
+0
γ
(
x
)
>
1
, то
(
π, F
)
-разбиение
состоит из промежутка
]
x , b
)
и всех точек
x
2
(
a, x
]
; здесь
x
—
единственное решение уравнения
ψ
(
x
) :=
1
−
π
(
x
)
1
−
F
(
x
)
−
γ
(
x
) = 0
,
(9)
причем
x <
ˉ
x
;
б) если
ˉ
x
— точка максимума и
lim
x
→
b
+0
γ
(
x
)
>
1
, то
(
π, F
)
-разбиение
состоит из всех точек
x
2
[
x , b
]
и промежутка
[
a, x
]
; здесь
x
—
единственное решение уравнения
π
(
x
)
F
(
x
)
−
γ
(
x
) = 0
,
(10)
причем
x >
ˉ
x
.
J
Для точки минимума
ˉ
x
функция
γ
(
x
)
убывает на промежут-
ке
(
a,
ˉ
x
)
и возрастает при
x
2
(ˉ
x, b
)
. Используя теорему о среднем,
запишем
ψ
(
x
) =
x
R
a
n
(
x
)
dx
x
R
a
f
(
x
)
dx
−
γ
(
x
) =
x
R
a
γ
(
x
)
n
(
x
)
dx
x
R
a
f
(
x
)
dx
−
γ
(
x
) =
γ
(
θ
x
)
−
γ
(
x
)
,
(11)
где
θ
x
— некоторое число,
a < θ
x
<
ˉ
x
.
Отсюда следует, что функция
ψ
(
x
)
возрастает на промежутке
(
a,
ˉ
x
)
.
Согласно правилу Лопиталя
lim
x
→
a
+0
ψ
(
x
) = lim
x
→
a
+0
γ
(
x
)
−
lim
x
→
a
+0
γ
(
x
) = 0
.
Поэтому функция
ψ
(
x
)
>
0
на некотором промежутке
(
a,
˜
x
)
,
˜
x
≥
ˉ
x
.
При
x >
˜
x
функция
ψ
(
x
)
начинает убывать, причем
lim
x
→
b
−
0
ψ
(
x
) =
= 1
−
lim
x
→
b
−
0
γ
(
x
)
<
0
. Следoвательно, существует единственное реше-
ние
x
уравнения (9).
28
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2006. № 4
