Покажем теперь, что промежуток
X
: (
a, x
]
принадлежит одной
предельной группе. Для этого убедимся вначале в выполнении усло-
вия (2). Очевидно, что
F
(
x
|
X
) =
0
,
x < a,
F
(
x
)
F
(
X
)
, a
≤
x < x ,
1
,
x
≥
x .
Распределение
π
(
x
|
X
)
имеет такой же вид, только в последней фор-
муле надо заменить
F
на
π
. Отсюда следует, что
sign[
F
(
x
|
X
)
−
π
(
x
|
X
)]
0
x
=
= sign
π
(
X
)
F
(
X
)
−
γ
(
x
) = sign[
γ
(
θ
x
)
−
γ
(
x
)]
.
(12)
Здесь
θ
x
— некоторое число,
a < θ
x
< x
. Но на промежутке
(
a, x
)
справедливо неравенство
γ
(
θ
x
)
≥
γ
(
x
)
, а значит и неравенство (7).
Докажем выполнение условия 3 для предельной группы
X
. За-
фиксируем произвольное
˜
x
,
x <
˜
x < b
и рассмотрим множество
X
α
до промежутка
˜
X
: (
a,
˜
x
]
. Заметим, что
P
F
(
X
)
>
0
и
P
( ˉ
X
)
>
0
, где
ˉ
X
: (
x ,
˜
x
]
. Из (11) имеем, что при
x
=
x
sign[
F
(
x
|
X
)
−
π
(
x
|
X
)]
0
x
= sign
ψ
(
x
) = 0
.
Кроме того, поскольку на промежутке
ˉ
x
функция
γ
(
x
)
возрастает, то
sign[
F
(
x
|
ˉ
X
)
−
π
(
x
|
ˉ
X
)]
0
x
= sign[
γ
(
θ
x
)
−
γ
(
x
)]
<
0
,
где
θ
x
— некоторое число
x < θ
x
<
˜
x
.
Отсюда следует справедливость условия 3 и утверждения о том,
что каждая точка
x
2
]
x , b
)
составляет предельную группу.
Аналогично доказывается пункт
б
).
I
С помощью
теоремы 1
легко установить
(
π, F
)
-разбиение для ши-
рокого класса распределений
F
(
x
)
и
π
(
x
)
, например для нормаль-
ных законов [2], усеченно нормальных, логарифмически нормальных,
гамма-распределений и др.
Будем интерпретировать
π
(
x
)
как распределение случайной вели-
чины
ξ
по вероятностной мере
P
π
, т.е.
π
(
x
) :
P
π
(
ξ < x
)
.
Теорема 2.
Пусть установлено
(
π, F
) =
{
X
α
}
— разбиение для
случайной величины
ξ
, принимающие значения из промежутка
(
a, b
)
(случаи
a
→ −∞
и/или
b
→
+
∞
не исключаются). Введем новую
случайную величину
ξ
:=
h
(
ξ
)
, где
h
— монотонно возрастающая
или убывающая функция на промежутке
(
a, b
)
с распределениями
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2006. № 4
29
