С помощью этой системы промежутков
I
α
разобьем множество
χ
F
на совокупность непересекающихся подмножеств
X
α
, положив
X
α
:=
I
α
∩
χ
F
. Заметим, что все множества
X
α
удовлетворяют усло-
виям 2 и 3, поскольку
F
(
x
|
X
α
) =
F
(
x
|
I
α
)
и
π
(
x
|
X
α
) =
π
(
x
|
I
α
)
.
Совокупность подмножеств
{
X
α
}
называют
(
π, F
)
-разбиением,
а каждое подмножество
X
α
— предельной группой. Очевидно, что
(
π, F
)
-разбиение всегда существует и не зависит от распределения
G
(
y
)
.
Зная
(
π, F
)
-разбиение, легко найти абсолютный минимум
m
(
π, F, G
)
.
Согласно работе [1] он достигается на экстремальном распределении
Q
(
y
|
x
) :=
Z
ϕ
(
η
)
<y
dG
(
y
)
{
α
(
x
)
,β
(
x
)
}
при
x
2
X
α
.
(8)
Здесь
α
(
x
) :=
P
F
[
i<x
X
i
!
, β
(
x
) :=
P
F
[
i
6
x
X
i
!
,
G
(
y
)
{
α,β
}
=
0
,
y < y
1
,
G
(
y
)
−
α
β
−
α
, y
1
6
y < y
2
,
1
,
y
>
y
2
,
где
y
1
и
y
2
— любые решения следующих неравенств:
(
G
(
y
1
+ 0)
>
α,
G
(
y
1
−
0)
6
α,
и
(
G
(
y
2
+ 0)
>
β,
G
(
y
2
−
0)
6
β.
Абсолютный максимум
M
(
π, F, G
)
находится таким же образом,
только в условии 2 знак неравенства надо изменить на обратный.
Приведенное описание показывает, что основная трудность в опре-
делении экстремумов функционала
R
Q
(
π, F, G
)
состоит в нахождении
(
π, F
)
-разбиения.
В данной статье приводится ряд утверждений, упрощающих реше-
ние этого вопроса. Рассмотрение проведем для распределений
F
(
x
)
и
π
(
x
)
, имеющих плотности вероятностей
f
(
x
)
и
n
(
x
)
соответственно.
Для определенности будем считать, что распределения
F
(
x
)
и
π
(
x
)
сосредоточены на промежутке
(
a, b
)
, т.е.
χ
F
= (
a, b
)
,
χ
π
2
χ
F
, причем
f
(
x
)
>
0
8
x
2
(
a, b
)
. Случаи
a
→ −∞
или
b
→
+
∞
не исключаются.
Составим отношение вероятностей
γ
(
x
) :=
n
(
x
)
f
(
x
)
,
x
2
(
a, b
)
. Оно
играет важную роль в нахождении
(
π, F
)
-разбиения. В частности име-
ет место
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2006. № 4
27
