проводящем слое с удельной электропроводностью вида
˜
σ
(˜
z
) =
σ
(˜
z
)
σ
0
= 1 +
σ
1
(˜
z
)
σ
0
,
|
σ
1
(˜
z
)
|
σ
0
,
(7)
при заданных начальных (1) и граничных (3) условиях. Для этого
воспользуемся методом последовательных приближений, приняв за
нулевое решение задачи (5)–(6), отвечающее случаю однородной про-
водимости (
σ
=
σ
0
= const). В первом приближении решение задачи
будем искать в виде
˜
E
1
= ˜
E
10
+ ˜
E
11
,
˜
B
1
= ˜
B
10
+ ˜
B
11
,
˜
E
2
= ˜
E
20
+ ˜
E
21
,
˜
B
2
= ˜
B
20
+ ˜
B
21
,
˜
E
3
= ˜
E
30
+ ˜
E
31
,
˜
B
3
= ˜
B
30
+ ˜
B
31
,
(8)
где вторые слагаемые являются малыми поправками к первым, исче-
зающие при
σ
1
(
z
)
→
0
.
В безразмерном виде поправки
˜
E
21
˜
z,
˜
t
и
˜
B
21
˜
z,
˜
t
к напряженно-
сти электрического
˜
E
20
˜
z,
˜
t
и индукции магнитного
˜
B
20
˜
z,
˜
t
полей
в среде удовлетворяют уравнениям
∂
2
˜
E
21
∂
˜
z
2
−
∂
2
˜
E
21
∂
˜
t
2
−
λ
∂
˜
E
21
∂
˜
t
=
λ
˜
σ
1
(˜
z
)
∂
˜
E
20
∂
˜
t
,
(9)
∂
˜
E
21
∂
˜
z
=
−
∂
˜
B
21
∂
˜
t
.
(10)
(В областях 1 и 3 уравнения электродинамики те же, что и в обла-
сти 2).
При решении задачи (8)–(10) с учетом граничных (3) и начальных
(4) условий по-прежнему используем методы операционного исчисле-
ния, а также метод вариации постоянных при решении неоднородных
обыкновенных дифференциальных уравнений, которым удовлетворя-
ют Лаплас-образы полей
˜
E
21
и
˜
B
21
. В частности для Лаплас-образа
˜
E
21
p
(˜
z, p
)
в процессе решения получим выражение
˜
E
21
p
=
λ
r
p
p
+
λ
Z
˜
σ
1
(
z
0
) sh
h p
p
(
p
+
λ
)(˜
z
−
z
0
)
i
E
20
p
(˜
z, p
)
dz
0
,
(11)
где
sh(
x
)
— гиперболический синус,
˜
E
20
p
(˜
z, p
)
— изображение напря-
женности электрического поля в нулевом приближении (см. (5) и (6)).
Выражение (11) путем его обращения позволяет получить коорди-
натно-временную зависимость поправки
˜
E
21
˜
z,
˜
t
к напряженности
электрического поля
˜
E
20
˜
z,
˜
t
.
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2006. № 2
81
