где
S
1
— окружность, а матрица
A
имеет вид
A
=
⎛
⎜⎜⎝
0 1 0 0
−
1 0 0 0
0 0 0 1
0 0
−
1 0
⎞
⎟⎟⎠
.
В результате наличиявращательной симметрии формально сохра-
няется величина
U
=
1
2
+
∞
−∞
[
y
1
v
2
−
y
2
v
1
+
u
2
w
1
−
u
1
w
2
]
dx, ∂
x
y
i
=
u
i
, ∂
x
w
i
=
v
i
.
Гамильтониан
E
и функционал
Q
также инвариантны относительно
группы вращений.
Солитонные решениясистемы уравнений (1) представляют собой
бегущие волны, быстроубывающие на бесконечности. После подста-
новки в систему (1)
w
=
w
(
ξ
)
, где
ξ
=
x
−
V t
,
V
— постоянная
скорость распространенияволны, и однократного интегрированияс
использованием условий убыванияна бесконечности получим
v
i
=
−
V u
i
,
m
ρ
0
¨
u
i
= (
µ
−
V
2
)
u
i
−
κ
ρ
0
u
i
(
u
2
1
+
u
2
2
)
.
(3)
Здесь
¨
u
i
— втораяпроизводнаяот
u
i
по переменной
ξ
. Уравнения(3)
дляуединенных волн записываютсяв эквивалентной форме:
E
(
φ
ϕ
V
) +
V Q
(
φ
ϕ
V
) = 0
.
(4)
В уравнении (4) вектор-функция
φ
ϕ
V
=
{
u
c
ϕ
1
, u
c
ϕ
2
, v
c
ϕ
1
, v
c
ϕ
2
}
т
,
v
c
ϕ
i
=
=
−
V u
c
ϕ
i
, обозначает солитонные решениясистемы (3), которые име-
ют место при
µ > V
2
,
κ >
0
.
В изотропном случае cолитонные решения, ответвляющиеся от
нуля, образуют трехпараметрическое семейство; параметрами служат
амплитуда (скорость), сдвиг (фаза) и угол
ϕ
. Если
φ
V
=
{
u
c
1
, u
c
2
, v
c
1
, v
c
2
}
т
является солитонным решением уравнений (3), то
φ
ϕ
V
=
=
{
u
c
ϕ
1
, u
c
ϕ
2
, v
c
ϕ
1
, v
c
ϕ
2
}
т
=
G
(
ϕ
)
φ
V
,
ϕ
∈
S
1
, также является солитон-
ным решением. Поэтому достаточно рассмотреть лишь конкретный
случай с фиксированным
ϕ
:
u
c
1
=
±
-
2
ρ
0
κ
−
1
(
µ
−
V
2
) ch
−
1
-
ρ
0
m
−
1
(
µ
−
V
2
)
ξ
,
u
c
2
= 0
,
0
< V
2
< µ.
(5)
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2005. № 4
73
