задачам:
(
H
11
−
V
2
)
χ
1
=
λ
−
V
2
λ
λ
−
1
χ
1
,
(
H
22
−
V
2
)
χ
2
=
λ
−
V
2
λ
λ
−
1
χ
2
,
(7)
а третьяи четвертаякомпоненты
χ
определяются по формулам:
χ
3
,
4
=
V χ
1
,
2
/
(
λ
−
1)
.
Cпектральнаязадача (7) приводитсяк виду
µ
−
V
2
−
3
κ
(
u
c
1
)
2
ρ
0
−
m
ρ
0
d
2
dξ
2
χ
1
=
νχ
1
,
µ
−
V
2
−
κ
(
u
c
1
)
2
ρ
0
−
m
ρ
0
d
2
dξ
2
χ
2
=
νχ
2
,
(8)
где
ν
=
λ
−
V
2
λ
λ
−
1
.
Задача (8) исследована в работе [5]. Cпектр
λ
оператора
H
совпа-
дает со спектром
H
1
и состоит из:
— простого отрицательного собственного значения;
— двукратного нулевого собственного значенияс собственными
функциями
∂
ξ
φ
ϕ
V
и
A
φ
ϕ
V
;
— положительной части спектра, отделенной от нуля.
Длянелинейной устойчивости граничных состояний гамильтоно-
вых систем вида (2) ключевую роль играет положительность величины
d
(
V
) =
∂Q
(
φ
V
)
/∂V
[4]. Прямым вычислением легко определить, что
d
(
V
)
>
0
длясемейства
φ
ϕ
V
, если
V
2
> µ/
2
.
Из спектральных свойств оператора
H
следует, что при
V
2
> µ/
2
билинейнаяформа
H
y
,
y
(здесь
·
,
·
обозначает скалярное произве-
дение в соболевских пространствах
L
2
(
R
)
×
L
2
(
R
)
×
L
2
(
R
)
×
L
2
(
R
)
)
является неотрицательно определенной на линейном подпространстве
L
=
{
y
∈
X
=
H
1
(
R
)
×
H
1
(
R
)
×
L
2
(
R
)
×
L
2
(
R
)
, Q
(
φ
ϕ
V
)
,
y
= 0
}
,
касательном к многообразию
Q
(
w
) =
Q
(
φ
ϕ
V
)
в точке
w
=
φ
ϕ
V
. Более
того,
H
y
,
y
≥
c
y
,
y
,
y
∈
L
1
,
(9)
где
c
— некотораяположительнаяконстанта, зависящаяот скорости
V
,
L
1
=
L
∩ {
y
, ∂
ξ
φ
ϕ
V
= 0
,
y
,
A
φ
ϕ
V
= 0
}
[5].
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2005. № 4
75
