УДК 517.958
В. Я. Т о м а ш п о л ь с к и й
УСТОЙЧИВОСТЬ УЕДИНЕННЫХ ВОЛН
В ОДНОЙ МОДЕЛИ ИЗОТРОПНОГО
КОМПОЗИТА
Рассмотрена задача об устойчивости трехпараметрического се-
мейства уединенных волн в изотропном упругом композите. Модель
такого композита описывает бесконечную во всех направлениях
упругую среду с равномерно распределенными упругими стержня-
ми, расположенными вдоль направления распространения волн. До-
казано, что для определенного диапазона скоростей распростране-
ния уединенных волн все семейство является орбитально устойчи-
вым. Рассмотренная задача является типичной среди аналогичных
задачоб устойчивости локализованных импульсов в двухмодовых
моделях упругих сред таких, например, как стержни, подвержен-
ные сжатию и изгибу.
Изучаютсяплоские волновые движенияв неоднородной нелиней-
ной упругой среде (композите), когда перемещения
w
α
, их градиенты
u
α
=
∂w
α
/∂x
и скорости частиц
v
α
,
α
= 1
,
2
,
3
, завися т от одной
пространственной переменной — декартовой координаты
x
=
x
3
—
и времени
t
. Будем рассматривать квазипоперечные волны в случае,
когда
u
3
и
v
3
постоянны. Эти постоянные можно положить равными
нулю без ограниченияобщности.
Несмотряна то, что движениянелинейного упругого тела описы-
ваютсягиперболической системой уравнений [7], наличие внутрен-
ней неоднородной структуры материала на макроуровне приводит к
дисперсии волн [1, 2]. Дляупругой среды примем, что нелинейность,
анизотропияи дисперсиямалы и представляютсячленами одного по-
рядка. Тогда система основных уравнений может быть записана в ви-
де [6]
∂u
i
∂t
−
∂v
i
∂x
= 0
, ρ
0
∂v
i
∂t
−
∂
∂x
∂
Φ
∂u
i
+
m
∂
3
u
i
∂x
3
= 0
, i
= 1
,
2
.
(1)
Здесь
ρ
0
— средняя плотность материала,
Φ
— упругий потенциал,
который задаетсявыражением
Φ =
1
2
f
(
u
2
1
+
u
2
2
) +
1
2
g
(
u
2
2
−
u
2
1
)
−
1
4
κ
(
u
2
1
+
u
2
2
)
2
.
Постоянные
g >
0
и
κ
характеризуют анизотропию и нелинейность
соответственно. Выражениядляконстант
f
,
g
и
κ
приведены в рабо-
те [7]. Будем полагать далее среду изотропной, т. е.
g
= 0
. Дисперси-
онное слагаемое с
m >
0
появляется в уравнениях движения (второй
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2005. № 4
71
