Из соотношения(9) следует более сильное неравенство
H
y
,
y
≥
c
1
y
2
,
y
∈
L
1
,
где
·
обозначает норму в cоболевском пространстве
X
[5].
Эти результаты влекут за собой орбитальную устойчивость семей-
ства уединенных волн (5), а именно трехпараметрическое семейство
φ
ϕ
V
орбитально устойчиво (устойчиво по форме) для
V
2
> µ/
2
,
ϕ
∈
S
1
,
т. е. при любом
>
0
дляэтого диапазона параметров существует
δ >
0
такое, что если
w
(0)
−
φ
ϕ
V
< δ
, то
sup
t>
0
inf
s
∈
R
inf
ϕ
∈
S
1
w
(
t
)
−
T
(
s
)
G
(
ϕ
)
φ
ϕ
V
< .
Здесь
1
w
(
t
)
обозначает непрерывное по времени решение основ-
ных уравнений (2) на произвольном полуинтервале
t
∈
[0
, t
0
)
c на-
чальным значением
w
(0)
.
Выводы
. Рассмотрены вопросы орбитальной устойчивости, или
устойчивости формы, трехпараметрического семейства уединенных
волн в идеализированной модели изотропного композита. Показано,
что задача о достаточных условиях устойчивости для всего семейства
сводитсяк ранее решенной задаче об устойчивости двухпараметри-
ческого подсемейства. Рассмотренная задача являетсятипичной сре-
ди аналогичных задач об устойчивости локализованных импульсов в
двухмодовых моделях упругих сред таких, например, как стержни,
подверженные сжатию и изгибу. В связи с этим результаты настоя-
щей работы, несмотряна свой теоретический характер, могут быть
использованы длярешенияфундаментальных задач об устойчивости
локализованных по пространству напряженно-деформированных со-
стояний в стержнях и более сложных моделях композитов, где наряду
с нелинейными эффектами важную роль играют эффекты дисперсии.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Б а х в а л о в Н. С., Э г л и т М. Э. Вариационные свойства осредненных
уравнений периодических сред // Тр. МИАН. – 1990. – Т. 192. – С. 5–19.
2. Б а х в а л о в H. C., Э г л и т М. Э. Эффективные уравненияс дисперсией для
распространенияволн в периодических средах // Докл. РАН. – 2000. – Т. 370,
№ 1. – C. 7–10.
1
Локальное существование и единственность задачи Коши дляуравнений (2)
имеет место в классах гладких функций. Для настоящего анализа устойчивости
достаточно ограничитьсярассмотрением непрерывных по времени функций со зна-
чениями в
X
.
76
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2005. № 4
