В работах [3, 5] были установлены достаточные условияустойчи-
вости двухпараметрического подсемейства (5) при
ϕ
=
π/
2
. В насто-
ящей работе этот результат обобщен для всего семейства.
В силу уравнения(4) поведение функционала
E
(
w
) +
V Q
(
w
)
в
окрестности точки
w
=
φ
ϕ
V
полностью определяется спектральными
свойствами самосопряженного оператора
H
=
E
(
φ
ϕ
V
) +
V Q
(
φ
ϕ
V
)
.
Оператор
H
имеет вид
H
=
⎛
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
H
1
−
2
κ
ρ
0
u
c
ϕ
1
u
c
ϕ
2
V
0
−
2
κ
ρ
0
u
c
ϕ
1
u
c
ϕ
2
H
2
0
V
V
0
1 0
0
V
0 1
⎞
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
,
H
1
=
µ
−
3
κ
ρ
0
(
u
c
ϕ
1
)
2
−
κ
ρ
0
(
u
c
ϕ
2
)
2
−
m
ρ
0
d
2
dξ
2
,
H
2
=
µ
−
3
κ
ρ
0
(
u
c
ϕ
2
)
2
−
κ
ρ
0
(
u
c
ϕ
1
)
2
−
m
ρ
0
d
2
dξ
2
.
Непосредственным вычислением определяется, что задача на соб-
ственные значения
H
ψ
=
λψ
сводитсяк задаче
H
1
χ
=
λχ
, где
H
1
=
⎛
⎜⎜⎝
H
11
0
V
0
0
H
22
0
V
V
0 1 0
0
V
0 1
⎞
⎟⎟⎠
,
H
11
=
µ
−
3
κ
ρ
0
(
u
c
1
)
2
− −
m
ρ
0
d
2
dξ
2
,
(6)
H
22
=
µ
−
κ
ρ
0
(
u
c
1
)
2
−
m
ρ
0
d
2
dξ
2
и
H
1
=
G
т
(
ϕ
)
H
G
(
ϕ
)
,
ψ
=
G
(
ϕ
)
χ
.
Из формул (6) следует, что задача на собственные значения
H
1
χ
=
λχ
,
χ
=
{
χ
1
, χ
2
, χ
3
, χ
4
}
т
сводитсяк двум автономным
74
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2005. № 4
