Случайная величина
υ
имеет плотность распределения
p
υ
(
n
) =
α
(
α
+ 1)
. . .
(
α
+
n
−
1)
n
!
p
α
q
n
—
отрицательное биноминальное распределение с параметрами
α
и
p
=
β/
(
β
+ 1)
, q
= 1
−
p
.
При этом
E
(
υ
) =
αq/p
.
Итак
,
если при отсутствии информации о страховом договоре при
назначении страховой премии используется величина
E
(
υ
) =
α/β
,
то
при наличии информации о том
,
что за предыдущий период имелось
k
страховых случаев
,
следует использовать величину
E
(
λ
|
υ
=
k
) =
α
+
k
β
+ 1
,
так как
E
(
λ
|
υ
=
k
) =
1
p
υ
(
k
)
∞
Z
0
xx
k
e
−
x
k
!
β
α
x
α
−
1
e
−
βx
Γ(
α
)
dx
=
α
+
k
β
+ 1
.
Отсюда видим
,
что при
k
= 0
страховая премия уменьшается
,
а с
возрастанием
k
она увеличивается
.
Пусть теперь известно
,
что за последние
m
лет имело место
k
стра
-
ховых случаев
.
Для того
,
чтобы использовать эту информацию при рас
-
чете индивидуальной страховой премии
,
введем новую единицу изме
-
рения времени
Т
0
=
m
Т
.
Обозначим через
υ
0
число страховых случаев
за
m
лет
.
В этом случае
P
(
υ
0
=
k
|
λ
=
x
) =
(
xm
)
k
e
−
mx
k
!
=
π
mx,k
.
Пусть
λ
0
=
mλ
.
Тогда
f
λ
0
(
x
) =
1
m
f
λ
³
x
m
´
является плотностью гамма
-
распределения
Γ
µ
α,
β
m
¶
= Γ(
α, β
0
)
,
где
β
0
=
β/m
.
Отсюда имеем
E
(
λ
0
) =
α
β
0
=
α
β
m, E
(
λ
0
|
υ
0
=
k
) =
α
+
k
β
0
+ 1
,
E
(
λ
|
υ
0
=
k
) =
E
µ
λ
0
m
¯ ¯ ¯ ¯
υ
0
=
k
¶
=
1
m
α
+
k
β
0
+ 1
=
α
+
k
β
+
m
.
104
ISSN 1812-3368.
Вестник МГТУ им
.
Н
.
Э
.
Баумана
.
Сер
. “
Естественные науки
”. 2004.
№
3
