волна является поперечной и распространяется вдоль оси
Ox
со ско-
ростью
v
, а отличной от нуля является координата скорости колеба-
ний среды
U
y
(
x, t
)
. Начальное температурное поле предполагается
заданным:
T
(
x, y, t
)
|
t
=0
=
−
Γ
y
y
. Составляющую градиента скаляр-
ного поля
Γ
y
полагаем постоянной. Построение модели теплового
трансциллятора бегущей волны при этих предположениях сводится
к отысканию решений вида
T
(
x, y, z, t
) =
T
0
(
x, t
)
−
Γ
y
y.
(2)
Рассмотрим случай монохроматической волны. Для плоской упру-
гой поперечной волны, распространяющейся вдоль оси
Ox
с плоско-
стью колебаний, параллельной оси
Oy
, имеем
U
y
(
x, t
) =
Aω
sin (
ωt
−
kx
)
, U
z
= 0
, k
=
ω
v
,
(3)
где
ω
— частота колебаний.
Для соответствующего уравнения относительно
T
0
(
x, t
)
a
∂
2
T
0
∂x
2
−
∂T
0
∂t
=
U
y
∂T
0
∂y
−
U
y
Γ
y
=
q
(
x, y, t
)
(4)
(
q
(
x, y, t
)
— эквивалентный источник теплоты) с однородным началь-
ным условием
T
0
|
t
=0
= 0
(5)
с использованием представления
T
0
обобщенной функцией
T
0
=
∞
Z
−∞
∞
Z
0
q
(
x
0
, t
0
)
G
(
x
−
x
0
, t
−
t
0
)
dx
0
dt
0
,
(6)
получим уравнение для функции Грина
ˆ
LG
=
δ
(
x
−
x
0
)
δ
(
t
−
t
0
)
,
(7)
где
ˆ
L
=
a
∂
2
∂x
2
−
∂
∂t
— оператор теплопроводности.
Для нахождения функции Грина воспользуемся представлением
δ
-
функции Дирака в виде
δ
(
x
−
x
0
) =
1
2
π
∞
Z
−∞
exp (
iγ
(
x
−
x
0
))
dγ,
δ
(
t
−
t
0
) =
1
2
π
∞
Z
−∞
exp (
iβ
(
t
−
t
0
))
dβ.
(8)
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2011. № 1
79
