С помощью процедуры “деления на оператор” имеем
G
(
x
−
x
0
, t
−
t
0
) =
−
1
4
π
2
∞
Z
−∞
∞
Z
−∞
exp (
iγ
(
x
−
x
0
) +
iβ
(
t
−
t
0
))
aγ
2
+
iβ
dγdβ.
(9)
Вычислив интегралы в выражении (9), получим
G
(
x
−
x
0
, t
−
t
0
) =
−
exp
"
−
(
x
−
x
0
)
2
4
a
(
t
−
t
0
)
#
Φ (
t
−
t
0
)
2
p
πa
(
t
−
t
0
)
,
(10)
где
Φ (
х
)
— единичная функция Хевисайда.
С использованием соотношений (6), (4) и (10) запишем эквива-
лентное исходной задаче интегро-дифференциальное уравнение
T
0
=
∞
Z
−∞
t
Z
0
U
y
Γ
y
−
∂T
0
∂y
exp
"
−
(
x
−
x
0
)
2
4
a
(
t
−
t
0
)
#
dx
0
dt
0
2
p
πa
(
t
−
t
0
)
.
(11)
Учитывая, что
Γ
y
∂T
0
∂y
, подставляя выражение (3) в (11) и ис-
пользуя формулы Эйлера, после упрощения получаем
T
0
=
Aω
Γ
y
2
i
×
×
e
−
ikx
−
k
2
a t
t
Z
0
e
iωt
0
+
k
2
a t
0
dt
0
−
e
ikx
−
k
2
a t
t
Z
0
e
−
iωt
0
+
k
2
a t
0
dt
0
(12)
и в окончательном виде
T
0
=
Aω
Γ
y
2
i
"
e
−
ikx
e
iωt
−
e
−
k
2
a t
iω
+
k
2
a
−
e
ikx
e
−
iωt
−
e
−
k
2
a t
−
iω
+
k
2
a
#
.
(13)
Для достаточно больших времен (
t
1
/
(
k
2
a
)
) из (13) следует
T
0
=
Aω
Γ
y
k
4
a
2
+
ω
2
k
2
a
sin (
ωt
−
kx
)
−
ω
cos (
ωt
−
kx
)
.
(14)
Поток теплоты вдоль оси
Oy
складывается из диффузионного и
конвективного потоков:
j
y
=
−
acρ
∂T
∂y
+
cρU
y
T,
(15)
где с
ρ
— объемная теплоемкость среды. Рассмотрим конвективную
составляющую потока
80
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2011. № 1
