функционального уравнения [1]
y
(
t
) =
V
0
t
−
1
m
t
Z
0
P
(
t
1
) (
t
−
t
1
)
dt
1
,
(1)
где
y
(
t
) =
α
(
t
) +
w
(
t
)
— полное перемещение ударника;
α
(
t
)
— мест-
ное смятие материала пластинки в месте контакта;
w
(
t
)
— динамиче-
ский прогиб пластинки в месте контакта;
m
— масса ударника;
t
—
время, отсчитываемое от момента касания ударником мишени;
P
(
t
1
)
— сила их взаимодействия;
t
1
— переменная интегрирования.
Для решения уравнения (1) необходимо выразить все неизвестные
величины, входящие в него, через одну, в качестве которой обычно
используется сила взаимодействия в месте контакта. Зависимость
α
(
t
)
от
Р
(
t
)
определяется из решения контактной задачи, а зависимость
w
(
t
)
от
Р
(
t
)
— из решения уравнений типа Уфлянда–Миндлина для
ортотропной пластинки, обладающей цилиндрической анизотропией,
учитывающих инерцию вращения поперечных сечений и деформацию
поперечного сдвига и записанных в безразмерном виде [6]:
∂
2
ϕ
∂r
2
+
1
r
∂ϕ
∂r
+
1
r
2
∂
2
ϕ
∂θ
2
−
1
r
2
c
2
c
1
ϕ
+
c
2
σ
r
+
c
3
c
1
r
∂
2
ψ
∂r∂θ
−
c
2
+
c
3
c
1
r
2
∂ϕ
∂θ
+
+
12
c
4
c
1
∂w
∂r
−
ϕ
=
−
∂
2
ϕ
∂τ
2
+
M
;
(2)
c
4
c
1
∂
2
w
∂r
2
−
∂ϕ
∂r
+
c
4
c
1
∂w
r∂r
−
ϕ
r
+
+
c
4
c
1
∂
2
w
r
2
∂θ
2
−
∂ψ
r∂θ
=
∂
2
w
∂τ
2
+
q
1
sin
α
1
;
(3)
∂
2
u
∂r
2
+
1
r
∂u
∂r
+
c
3
c
1
r
2
∂
2
u
∂θ
2
−
c
2
c
1
u
r
2
+
+
c
2
σ
r
+
c
3
c
1
r
∂
2
v
∂r∂θ
−
c
2
+
c
3
c
1
r
2
∂v
∂θ
=
∂
2
u
∂τ
2
+
q
1
cos
α
1
cos
α
2
;
(4)
c
2
c
1
r
2
∂
2
v
∂θ
2
+
c
3
c
1
∂
2
v
∂ r
2
+
1
r
∂v
∂ r
−
v
r
2
+
+
σ
θ
+
c
3
c
1
r
∂
2
u
∂ r∂θ
+
c
2
+
c
3
c
1
r
2
∂u
∂θ
=
∂
2
v
∂τ
2
+
q
1
cos
α
1
sin
α
2
;
(5)
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2011. № 2
53
