S
0
=
D
1
C
3
1
−
C
2
1
+
C
3
1
D
1
D
3
A
3
1
−
D
1
;
K
1
=
C
3
1
D
1
D
3
A
3
1
−
D
2
−
C
2
1
D
1
;
N
1
=
D
4
D
1
C
3
1
A
3
1
−
C
3
1
(
D
2
)
2
+
B
1
2
C
3
1
B
3
2
A
3
1
−
B
3
1
A
3
2
−
D
2
C
2
1
;
M
1
=
−
C
3
1
+
C
2
1
−
B
3
1
A
3
1
D
1
C
3
1
+
D
2
C
3
1
;
D
4
=
−
B
2
1
+
B
3
1
D
2
.
После применения обратного преобразования Лапласа получаем
выражение для динамического прогиба как функции времени и двух
перемещений:
w
(
ϕ, θ, τ
) =
=
(1
−
σ
θ
σ
r
)
h
πR
2
c
E
r
τ
Z
0
∞
X
n
=0
∞
X
m
=0
(4
n
+ 3)
P
(
τ
1
)
P
2
n
+1
cos
πr
1
2
R
×
×
P
2
n
+1
cos
πr
2
R
cos(
mθ
) Φ
0
δ
(
τ
) + Φ
1
(
τ
−
τ
1
)+
+
Φ
2
(
τ
−
τ
1
)
3
6
−
C
3
1
(
τ
−
τ
1
)
5
120
dτ
1
,
(22)
где
Φ
0
=
−
K
0
B
3
1
A
3
1
+
N
0
+
M
0
+
c
1
c
4
(
K
0
+
S
0
)
R
1
cos
α
1
A
3
1
P
s
;
Φ
1
=
−
K
1
B
3
1
A
3
1
+
N
1
+
M
1
+
c
1
c
4
(
K
1
+
C
3
1
D
1
)
R
1
cos
α
1
A
3
1
P
s
;
Φ
2
=
−
D
1
C
3
1
B
3
1
A
3
1
+
D
2
C
3
1
+
C
2
1
−
C
3
1
+
c
1
c
4
C
3
1
D
1
R
1
cos
α
1
A
3
1
P
.
Поскольку начальная скорость удара невелика, для определения за-
висимости местного смятия и контактной силы, входящих в уравнение
(1), воспользуемся известным соотношением для модели Герца [1–3]
α
=
bP
2
/
3
,
(23)
где
b
= 9
π
2
(
k
1
+
k
)
2
16
R
1
/
3
;
k
1
= (1
−
σ
2
1
)
/E
1
2
;
k
= (1
−
σ
2
)
/E
;
σ
1
,
E
1
— коэффициент Пуассона и модуль упругости для ударника
соответственно.
После подстановки выражений для прогиба мишени (22) в задан-
ной точке, т.е. при фиксированных значениях координат
r
,
ϕ
,
θ
, и
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2011. № 2
61
