p
2
c
1
σ
θ
+
c
3
12
c
5
−
c
4
c
1
+
(
c
2
+
c
3
)
c
4
12
c
1
c
5
r
2
ˉ
ϕ
,rθ
+
ˉ
ϕ
,θ
r
+
+ ˉ
ψ
,θθ
c
4
c
1
c
3
−
c
2
12
c
5
r
3
−
p
2
c
1
12
c
5
r
+
p
2
c
2
12
c
5
r
+
+ ˉ
ψ
,rr
c
4
c
1
r
−
c
3
12
c
5
r
−
p
2
c
1
r
12
c
5
+
p
2
c
3
r
12
c
5
+
+ ˉ
ψ
,r
c
4
c
1
3
−
c
3
12
c
5
r
2
−
3
p
2
c
1
12
c
5
+
p
2
c
3
12
c
5
−
−
(
c
2
+
c
3
)
c
4
12
c
1
c
5
r
ˉ
ψ
,θθrr
+
ˉ
ϕ
,θθθ
r
2
+ ˉ
ψ r
+
c
3
12
c
5
r
−
p
2
c
1
r
12
c
5
c
4
c
1
1
r
2
−
p
2
−
−
c
2
c
4
12
c
1
c
5
r
ˉ
ψ
,θθθθ
−
c
3
c
4
3
c
1
c
5
r
4
ˉ
ψ
,rrrr
+ ˉ
ψ
,rrr
−
(
c
1
σ
θ
+
c
2
+ 2
c
3
)
c
4
12
c
1
c
5
r
ˉ
ϕ
,rrθ
−
−
(
c
1
σ
θ
+
c
3
)
c
4
12
c
1
c
5
r
ˉ
ϕ
,rθθθ
r
+
r
ˉ
ϕ
,rrrθ
= ˉ
q
1
θ
sin
α
1
.
(13)
Решение системы уравнений (11), (12) будем искать в виде разло-
жения в ряды по полиномам Лежандра [13]:
ˉ
ϕ
=
∞
X
n
=0
∞
X
m
=0
ϕ
2
n
+
m
P
2
n
+1
cos
πr
2
R
cos (
mθ
) ;
(14)
ˉ
ψ
=
∞
X
n
=0
∞
X
m
=0
ψ
2
n
+
m
P
2
n
+1
cos
πr
2
R
cos (
mθ
) ;
(15)
ˉ
w
=
∞
X
n
=0
∞
X
m
=0
w
2
n
+
m
P
2
n
+1
cos
πr
2
R
cos (
mθ
)
,
(16)
где
R
— радиус пластинки.
Нагрузку
q
(
t, r, θ
)
от сосредоточенной силы взаимодействия в ме-
сте контакта
P
(
t
)
также представим в виде разложения в ряд по поли-
номам Лежандра [13]
ˉ
q
1
=
P
(
p
)
πR
2
c
∞
X
n
=0
∞
X
m
=0
(4
n
+ 3)
P
2
n
+1
cos
πr
1
2
R
P
2
n
+1
cos
πr
2
R
cos (
mθ
)
,
(17)
где
r
1
— координата точки в которой происходит динамический кон-
такт.
Подставляя выражения (14) и (15) в уравнения (12), (13) и исполь-
зуя свойство ортогональности системы косинусов на отрезке
[
−
π, π
]
,
получаем следующие уравнения:
−
m
1
−
(
c
1
σ
θ
+
c
3
)
c
4
c
1
c
5
∞
X
n
=0
ϕ
2
n
+
m
P
2
n
+1
,rr
−
56
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2011. № 2
