p
≥
1
. Для аппроксимации функции
f
используем не только линейные
комбинации функций
f
i
, i
= 1
,
∙ ∙ ∙
, m
, но и произвольные функции,
полученные как многочлены от функции
f
i
, i
= 1
,
∙ ∙ ∙
, m
. Более точ-
но, зафиксируем целое число
k
, возьмем множество
P
k
, состоящее из
всевозможных многочленов от
m
переменных с комплексными коэф-
фициентами, имеющих степень
≤
k
(по совокупности переменных);
рассмотрим величину
d
k
(
f
) = inf
k
f
−
p
(
f
1
,
∙ ∙ ∙
, f
m
)
k
, p
2
P
k
.
При-
мем также
d
∞
(
f
) = inf
k
f
−
p
(
f
1
,
∙ ∙ ∙
, f
m
)
k
, p
2 ∪
k
P
k
.
Таким образом,
здесь
p
пробегает совокупность всех многочленов от
m
переменных
(произвольной степени). Ясно, что
d
1
(
f
)
≥ ∙ ∙ ∙ ≥
d
∞
(
f
)
,
(1)
в результате приходим к бесконечной цепочке приближений функ-
ции
f
(включая “финальное” приближение, приводящее к величине
d
∞
(
f
)
). Возможно, рассмотрение этой цепочки для конкретных клас-
сов функций окажется интересным. Сделаем лишь скромный шаг в
этом направлении: изучим условия, при которых все величины, ука-
занные в (1), совпадают; другими словами, перечисленные способы
аппроксимации не дают преимущества по сравнению с аппроксимаци-
ей посредством линейных комбинаций функций. (Читатель, возможно,
сочтет, что случаи совпадения всех величин из формулы (1) отчасти
“дискредитируют” указанные методы аппроксимации; однако анализ
такой ситуации является достаточно содержательной задачей.)
Изложим точную постановку задачи. Начиная с этого места пред-
положим, что указанная выше мера
P
является вероятностной, т.е.
P
(
X
) = 1
.
Будем пользоваться языком и традиционными обозначени-
ями теории вероятностей (нам понадобятся лишь скромные сведения
из этой теории; их можно почерпнуть из книг [7–10]). Таким образом,
указанные выше функции
f, f
1
,
∙ ∙ ∙
, f
m
— это случайные величины,
имеющие конечные
L
p
-нормы для всех
p
≥
1
. Наша цель — выяс-
нить условия, при которых все величины
d
k
(
f
)
, k
= 1
,
2
,
∙ ∙ ∙
,
и
d
∞
(
f
)
совпадают. Это условие равносильно тому, что
d
1
(
f
) =
d
∞
(
f
)
.
(2)
Изучим правую часть равенства (2). Для этого рассмотрим случай-
ную величину
M
(
f
|
f
1
,
∙ ∙ ∙
, f
m
)
— условное математическое ожидание
случайной величины
f
относительно случайных величин
f
i
,
i
=
= 1
,
∙ ∙ ∙
, m
. Напомним, что величину
M
(
f
|
f
1
,
∙ ∙ ∙
, f
m
)
можно за-
писать в виде
g
(
f
1
,
∙ ∙ ∙
, f
m
)
, и для любой случайной величины вида
h
(
f
1
,
∙ ∙ ∙
, f
m
)
выполняется равенство
M
(
g
(
f
1
,
∙ ∙ ∙
, f
m
)
h
(
f
1
,
∙ ∙ ∙
, f
m
)) =
=
M
(
fh
(
f
1
,
∙ ∙ ∙
, f
m
))
; здесь
g, h
— борелевские функции. Оно озна-
чает, что
M
(
f
|
f
1
,
∙ ∙ ∙
, f
m
)
есть проекция случайной величины
f
на
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2014. № 4
19
