УДК 519.213
О ПРИБЛИЖЕНИИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
Р.С. Исмагилов
МГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва, Российская Федерация
e-mail:
Работа посвящена наилучшей аппроксимации случайной величины с помощью
некоторого набора случайных величин. Весьма употребительна аппроксимация
посредством линейных комбинаций упомянутого набора. В настоящей ста-
тье этот прием несколько расширен с использованием также полиномиаль-
ных функций элементов этого набора. Если степени полиномов произвольны,
то это приводит к аппроксимации посредством условного математического
ожидания случайной величины относительно этого набора. Описаны линейные
пространства случайных величин, в которых указанные методы аппроксима-
ции приводят к одному и тому же результату.
Ключевые слова
:
случайная величина, аппроксимация, условное математическое
ожидание, характеристическая функция, распределение.
ON APPROXIMATION OF RANDOM VARIABLES
R.S. Ismagilov
Bauman Moscow State Technical University, Moscow, Russian Federation
e-mail:
The article deals with the best approximation of a random variable by a set of
random variables. Approximation by means of linear combinations of the above set
is rather common. In the article this approach is extended to use of polynomial
functions of this set elements. If degrees of polynomials are arbitrary then it results
in approximation by means of a conditional mathematical expectation of a random
variable concerning this set. Linear spaces of random variables are described in
which the specified methods of approximation result in the same result.
Keywords
:
random variable, approximation, conditional mathematical expectation,
characteristic function, distribution.
Введение. Постановка задачи.
Рассмотрим пространство с мерой
(
X, P
)
и соответствующее гильбертово пространство
L
2
(
X
)
. Пусть да-
ны функции
f, f
1
,
∙ ∙ ∙
, f
m
.
Простейший вариант классической задачи
теории приближений состоит в наилучшей аппроксимации функции
f
линейной комбинацией функций
f
i
, i
= 1
,
∙ ∙ ∙
, m.
Здесь затронуты
только приближения в гильбертовом пространстве; с общими принци-
пами теории приближений можно ознакомиться, например, в работах
[1–3]. Более специальным вопросам теории посвящены книги [4, 5].
Современное состояние теории освещено в работе [6]. Очевидное ре-
шение указанной простейшей задачи — это проекция функции
f
на
линейную оболочку набора
f
i
, i
= 1
,
∙ ∙ ∙
, m
; условимся обозначать эту
проекцию через
proj
(
f
|
f
1
,
∙ ∙ ∙
, f
m
)
.
Рассмотрим следующий, более общий “механизм” приближения.
Будем считать, что эти функции имеют конечные
L
p
нормы для всех
18
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2014. № 4
