(
т.е.
P
((
ξ
1
,
∙ ∙ ∙
, ξ
n
)
2
E
) =
P
((
ξ
1
,
∙ ∙ ∙
, ξ
n
)
2
D
(
E
))
для любого боре-
левского множества
E
и любого ортогонального преобразования
D
,
действующего в пространстве
R
n
)
;
3) характеристическая функция
M
(exp(
i
n
P
k
=1
t
k
ξ
k
))
представима в
виде
s
(
p
t
2
1
+
∙ ∙ ∙
t
2
n
) (
s
— функция одной переменной
)
.
В теореме 1 использован ортонормированный базис в подпростран-
стве
L
. В теореме 2 рассмотрено линейное пространство
L
случайных
величин, в котором фиксирован произвольный базис
μ
k
, k
= 1
,
∙ ∙ ∙
, n,
в
L
(возможно, не ортонормированный). Рассмотрим квадратичную
форму
Q
(
t
1
,
∙ ∙ ∙
, t
n
) =
M
(
|
P
1
≤
k
≤
n
t
k
μ
k
|
2
)
и характеристическую функ-
цию
F
(
t
1
,
∙ ∙ ∙
, t
n
) =
M
(exp(
i
n
P
k
=1
t
k
μ
k
))
.
Теорема 2.
Равносильны следующие условия:
1) для любого линейно независимого набора
{
f
i
, i
= 1
,
∙ ∙ ∙
, n
}
из
пространства
L
выполняется равенство (4);
2) характеристическая функция
F
(
t
1
,
∙ ∙ ∙
, t
n
)
представима в виде
s
(
Q
(
t
1
,
∙ ∙ ∙
, t
n
))
, где
s
— функция одной переменной.
Отметим, что теорема 2 следует из теоремы 1. Действительно,
набор
μ
k
, k
= 1
,
∙ ∙ ∙
, n
, получается из ортонормированного набора с
помощью линейного невырожденного преобразования. При этом ар-
гумент
t
= (
t
1
,
∙ ∙ ∙
, t
n
)
функций
Q
и
F
подвергается сопряженному
линейному преобразованию, применяя которое к функциям, указан-
ным в условии 3 теоремы 1, приходим к заключению теоремы 2.
Переходя к доказательству теоремы 1, начнем с простых фактов из
теории вероятностей. Примем
M
(
ξ
1
|
ξ
2
,
∙ ∙ ∙
, ξ
n
) =
A
(
ξ
2
,
∙ ∙ ∙
, ξ
n
)
.
Лемма.
Справедливо равенство
∂F/∂t
1
(0
, t
2
,
∙ ∙ ∙
, t
n
) =
iM
(
A
(
ξ
2
,
∙ ∙ ∙
, ξ
n
) exp
i
X
2
≤
k
≤
n
t
k
ξ
k
)
(5)
для всех
t
k
.
J
Действительно, левая часть равенства (5) есть
iM
(
ξ
1
exp
i
X
2
≤
k
≤
n
t
k
ξ
k
)
.
Из приведенных выше свойств условного математического ожидания
получаем, что эта величина совпадает с правой частью равенства (5).
Лемма доказана.
I
Докажем теорему 1. Начнем с доказательства равносильности
условий 2 и 3. При ортогональном преобразовании случайного вектора
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2014. № 4
21
