замыкание линейного пространства всех случайных величин вида
h
(
f
1
,
∙ ∙ ∙
, f
m
)
) с конечной
L
2
-нормой (
h
(
f
1
,
∙ ∙ ∙
, f
m
)
— борелевская
функция). Итак, правая часть равенства (2) — это расстояние между
вектором
f
и указанным подпространством, а функция, на которой
достигается это расстояние, — упомянутое условное математическое
ожидание.
Левая часть равенства (2) — расстояние между вектором
f
и ли-
нейной оболочкой набора
f
1
,
∙ ∙ ∙
, f
m
; это подпространство является
частью подпространства, о котором только что шла речь. Следова-
тельно, равенство (2) равносильно равенству
M
(
f
|
f
1
,
∙ ∙ ∙
, f
m
) =
proj
(
f
|
f
1
,
∙ ∙ ∙
, f
m
)
.
(3)
Изучим случаи, когда равенство (3) имеет место. Целесообразно не-
сколько расширить задачу, поставив ее следующим образом.
Задача.
Охарактеризовать все конечномерные подпространства
L L
2
(
X
)
, такие что выполняется равенство (3) для любых линейно
независимых наборов
f, f
1
,
∙ ∙ ∙
, f
m
, взятых из подпространства
L
.
Отметим, что в таких подпространствах аналогичное условие так-
же выполняется для линейно зависимых наборов
f, f
1
,
∙ ∙ ∙
, f
m
, поэто-
му можно исключить требование линейной независимости из форму-
лировки задачи.
Решение задачи. Изложение результата.
Прежде чем присту-
пить к решению поставленной задачи, отметим один общеизвестный
класс подпространств с указанным в ней свойством. Таковыми явля-
ются подпространства, полученные как линейная оболочка гауссова
набора случайных величин, имеющих нулевые математические ожи-
дания [8, 9].
В следующих двух теоремах описаны все подпространства с ука-
занным свойством (и тем самым, дано решение поставленной выше
задачи). Для описания подпространств указаны базисы в них; таким
образом, решение свелось к характеризации базисов, которая особенно
проста для случая ортонормированных базисов (теорема 1). Случай,
когда базис не предполагается ортонормированным, рассмотрен в те-
ореме 2.
Теорема 1.
Пусть дано конечномерное подпространство
L L
2
(
X
)
с ортонормированным базисом
ξ
k
, k
= 1
,
∙ ∙ ∙
, n
. Тогда равносильны
следующие условия:
1) для любого линейно независимого набора
{
f
i
, i
= 1
,
∙ ∙ ∙
, n
}
из
подпространства
L
выполняется равенство
M
(
f
1
|
f
2
,
∙ ∙ ∙
, f
n
) =
proj
(
f
1
|
f
2
,
∙ ∙ ∙
, f
n
);
(4)
2) распределение случайного вектора
(
ξ
1
,
∙ ∙ ∙
, ξ
n
)
инвариантно от-
носительно любого ортогонального преобразования пространства
R
n
20
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2014. № 4
