(
ξ
1
,
∙ ∙ ∙
, ξ
n
)
характеристическая функция
M
exp(
i
n
P
k
=1
t
k
ξ
k
)
подвер-
гается обратному преобразованию переменных. Поэтому инвариант-
ность распределения указанного вектора равносильна инвариантности
характеристической функции, а последнее равносильно тому, что эта
функция представима в виде функции величины
p
t
2
1
+
∙ ∙ ∙
t
2
n
.
Этим
доказана равносильность условий 2 и 3 теоремы 1.
Докажем равносильность условий 1 и 2 теоремы 1. Пусть выпол-
нено условие 1 теоремы 1. Применим это условие, взяв в качестве
набора
{
f
i
, i
= 1
,
∙ ∙ ∙
, n
}
набор
{
ξ
1
,
∙ ∙ ∙
, ξ
n
)
. Тогда правая часть равен-
ства (4) равна нулю, откуда
M
(
ξ
1
|
ξ
2
,
∙ ∙ ∙
, ξ
n
) =
A
(
ξ
2
,
∙ ∙ ∙
, ξ
n
) = 0
.
Из равенства (5) получаем, что
∂F/∂t
1
(0
, t
2
,
∙ ∙ ∙
, t
n
) = 0
для всех
t
2
,
∙ ∙ ∙
, t
n
.
Это равенство можно истолковать так: производная функ-
ции
F
(
t
1
,
∙ ∙ ∙
, t
n
)
вдоль вектора
(1
,
0
,
∙ ∙ ∙
,
0)
равна нулю в любой точ-
ке вида
(0
, t
2
,
∙ ∙ ∙
, t
n
)
. Отметим, что указанные векторы
(1
,
0
,
∙ ∙ ∙
,
0)
и
(0
, t
2
,
∙ ∙ ∙
, t
n
)
ортогональны. Повторим это рассуждение, заменив
набор
{
ξ
1
, ξ
2
,
∙ ∙ ∙
, ξ
n
}
набором
{
Gξ
1
, Aξ
2
,
∙ ∙ ∙
, Gξ
n
}
, где
G
— произ-
вольная ортогональная матрица. Получим следующее: производная
функции
F
(
t
1
,
∙ ∙ ∙
, t
n
)
вдоль произвольного вектора
e
равна нулю в
любой точке
x
, такой что векторы
e
и
x
ортогональны. Возьмем про-
извольную кривую
σ
7
→
x
(
σ
)
, σ
2
(0
,
1)
, такую что
|
x
(
σ
)
|
=
r
для
фиксированного
r
. Тогда касательный вектор
x
0
(
σ
)
ортогонален к
x
(
σ
)
и, согласно предыдущему выводу, производная функции вдоль векто-
ра
x
0
(
σ
)
равна нулю. Следовательно, функция
F
(
t
1
,
∙ ∙ ∙
, t
n
)
постоянна
на указанной кривой. Таким образом, функция
F
(
t
1
,
∙ ∙ ∙
, t
n
) =
F
(
t
)
постоянна на любой сфере
|
t
|
=
r
. Тем самым, она зависит только от
|
t
|
, т.е. выполнено условие 3, а поэтому и равносильное условие 2.
Доказано, что из условия 1 теоремы следует условие 2.
Пусть теперь выполнено условие 2 теоремы 1. Тогда выполнено
и равносильное ему условие 3. Отсюда
∂F/∂t
1
(0
, t
2
,
∙ ∙ ∙
, t
n
) = 0
для
всех
t
2
,
∙ ∙ ∙
, t
n
. Таким образом, обе части равенства (5) равны нулю.
Но правая часть есть преобразование меры Фурье – Стилтьеса, полу-
ченной умножением функции
A
(
x
2
,
∙ ∙ ∙
, x
n
)
на меру, задающую рас-
пределение случайного вектора
{
ξ
2
,
∙ ∙ ∙
, ξ
n
}
. По теореме единствен-
ности для преобразования Фурье – Стилтьеса в
R
n
, определяем, что
A
(
ξ
2
,
∙ ∙ ∙
, ξ
n
) = 0
, т.е.
M
(
ξ
1
|
ξ
2
,
∙ ∙ ∙
, ξ
n
) = 0
.
Повторив изложенное
для набора, полученного из набора
(
ξ
1
, ξ
2
,
∙ ∙ ∙
, ξ
n
)
ортогональным пре-
образованием (условие 2 остается в силе и для этого набора), запишем
следующее: если
{
ν
j
}
,
1
≤
i
≤
r
— произвольная ортонормирован-
ная система, то
M
(
ν
1
|
ν
2
,
∙ ∙ ∙
, ν
r
) = 0
. Этим доказано первое утвер-
ждение теоремы для ортонормированных наборов случайных вели-
чин. Чтобы доказать его для любой линейно независимой системы
22
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2014. № 4
