тем, которые применяли при выводе статистик типа Колмогорова –
Смирнова для частного случая
r
= 1
[9].
Анализ оценки Каплана –Мейера (3) показывает, что ее значение
зависит от последовательности появления отказов
θ
i
01
, θ
i
02
, i
= 1
, n
.
В связи с этим для вычисления распределения статистики
T
=
= max
ρ
(
_
P
θ
(
x
)
,
_
P
q
(
x
))
необходимо использовать формулу полной
вероятности, которая в таком случае имеет вид
P
(
T < h
) =
X
−→
v
P
(
T < h/~ν
)
P
(
~ν
)
.
(6)
Вектор
~ν
определяется следующим образом. Рассмотрим вари-
ационный ряд
Δ = (
δ
1
< δ
2
<
∙ ∙ ∙
< δ
2
n
)
элементов выборки
Θ =
=
{
θ
i
01
, θ
i
02
, i
= 1
, n
}
. Примем
z
k
=
1
,
если
δ
k
=
θ
i
02
, i
= 1
, n
0
,
если
δ
k
=
θ
i
01
, i
= 1
, n
, k
= 1
, . . . ,
2
n
;
~z
= (
z
1
, z
2
,
∙ ∙ ∙
, z
2
n
)
.
Пусть
k
1
< k
2
<
∙ ∙ ∙
< k
n
, где
z
k
i
= 1
.
Обозначим
ν
i
=
k
i
, i
= 1
, n
.
Отметим, что
2
≤
ν
1
< ν
2
< . . . < ν
n
= 2
n
,
2
i
≤
ν
i
≤
n
+
i
. На-
зовем вектор
~ν
= (
ν
1
, ν
2
,
∙ ∙ ∙
, ν
n
)
допустимым. Очевидно, что вектора
~z
и
~ν
находятся во взаимно-однозначном соответствии. Обозначим
R
i
, i
= 1
, n
−
1
— число нулей между
i
-й и
(
i
+ 1)
-й единицами в
векторе
~z
.
Чтобы применить формулу (6), вычислим сначала
P
(
~ν
)
. Предвари-
тельно примем
V
i
=
i
−
1
X
k
=1
z
k
,
V
1
= 0
,
i
= 2
,
2
n
.
Утверждение 1.
Распределение вероятностей случайных векторов
~ν
= (
ν
1
, ν
2
, . . . , ν
n
)
имеет вид
P
(
~ν
) =
m
n
(
m
−
1)
n
n
!
n
Y
i
=1
(
ν
i
−
2
i
+ 1)
2
n
Q
i
=1
(
mn
−
i
+ 1
−
V
i
(
m
−
2))
.
J
Статистика
T
= max
ρ
(
_
P
θ
(
x
)
,
_
P
q
(
x
))
не зависит от закона рас-
пределения наработок на отказ, поэтому примем в качестве распре-
деления наработок на отказ равномерное распределение на интервале
[0
,
1]
. Совместная плотность двух порядковых статистик
θ
i
01
, θ
i
02
имеет
вид
f
(
t, τ
) =
m
(
m
−
1)(1
−
t
)
m
−
2
,
0
≤
τ
≤
t
≤
1
[14, 15]. В силу
независимости отказов в разных системах получим, что совместная
8
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2014. № 5
