2 / 6
Переход от положительно определенной метрики
G
αβ
к лоренце-
вой метрике
g
αβ
может быть осуществлен двумя способами.
Первый способ, называемый поворотом Вика и используемый в
квантовой гравитации и квантовой теории поля, заключается в замене
t
→
it
(
x
0
→
ix
0
). После такой замены метрика
g
αβ
=
−
G
αβ
|
x
0
→
ix
0
будет иметь лоренцеву сигнатуру
(+
,
−
,
−
,
−
)
. Это дало основание
С. Хокингу в 1978 г. предположить, что “Можно даже принять точку
зрения, согласно которой квантовая теория (а в действительности вся
физика) реально определена в евклидовой области и лишь особенно-
сти нашего восприятия приводят нас к ее интерпретации в лоренцевом
режиме” [5].
Второй способ, использовавшийся при обсуждении ограничений
на глобальную топологическую структуру пространства – времени,
при исследовании отображений псевдоримановых пространств на ри-
мановы [6], а также классических моделей топологических переходов,
состоит в представлении лоренцевой метрики
g
αβ
в виде
g
αβ
= 2
u
α
u
β
−
G
αβ
,
где
G
αβ
— некоторая положительно определенная метрика;
u
α
— еди-
ничное векторное поле (
g
αβ
u
α
u
β
=
G
αβ
u
α
u
β
= 1
). Отметим, что с
геометрической точки зрения на римановом многообразии
(
M
4
, G
αβ
)
векторное поле
u
α
ничем не выделено по сравнению с другими еди-
ничными векторными полями. Это позволило автору настоящей статьи
в 1985 г. высказать предположение [7] о возможности сосуществова-
ния на одном и том же многообразии нескольких лоренцевых структур
M
4
, g
(
i
)
αβ
, порождаемых одной и той же положительной метрикой
G
αβ
и разными векторными полями
w
i
α
,
i
= 1
,
2
, . . . , n
.
Аналогичное предположение о возможности сосуществования на
одном и том же многообразии нескольких причинных, хотя и необяза-
тельно лоренцевых, структур было сделано недавно Р. Героком [8].
Пусть
G
αβ
— некоторая положительно определенная метрика
на многообразии
M
4
,
u
α
— некоторое единичное векторное поле
(
G
αβ
u
α
u
β
= 1
) и
g
αβ
— псевдориманова метрика лоренцевой сигнату-
ры
(+
,
−
,
−
,
−
)
на этом же многообразии, связанная с метрикой
G
αβ
и векторным полем
u
α
записанным выше соотношением. Легко убе-
диться, что
G
= det
k
G
αβ
k
=
−
g
= det
k
g
αβ
k
[6], а поле
u
α
является
единичным в двух метриках [6, 7].
Рассмотрим на многообразии
M
4
наряду с полем
u
α
систему век-
торным полей
w
i
α
,
i
= 1
,
2
, . . . , n
. С помощью аналогичных записан-
ному выше соотношению получим систему псевдоримановых метрик
g
(
i
)
αβ
лоренцевой сигнатуры
(+
,
−
,
−
,
−
)
:
g
(
i
)
αβ
=
c
2
i
+ 1
w
i
α
w
i
β
−
G
αβ
,
64
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2015. № 1