4 / 6
S
Σ
=
Z (
κR
g
+
n
X
i
=0
L
i
u
α
, w
(
i
)
α
+
L
migi
)
√ −
gd
4
x,
где
L
migi
— лагранжианы полей источников метрик
g
αβ
и
g
(
i
)
αβ
.
Используя формулы биметрического формализма, последнее ра-
венство может быть переписано с учетом связи метрик
g
αβ
и
g
(
i
)
αβ
в
виде
S
Σ
=
Z (
κ
i
R
gi
+
n
X
j
=0
h
˜
L
j
w
(
i
)
α
, w
(
j
)
α
+ ˜
L
mjgj
i ) p
−
g
(
i
)
d
4
x,
где
˜
L
j
w
(
i
)
α
, w
(
j
)
α
и
˜
L
mjgj
получены из функций
L
i
u
α
, w
(
i
)
α
и
L
migi
заменой метрики
g
αβ
метрикой
g
(
i
)
αβ
.
Аналогично, выражая лоренцевы метрики
g
αβ
и
g
(
i
)
αβ
через евкли-
дову метрику
G
αβ
, определяем
S
Σ
=
Z (
κ
G
R
G
+
n
X
j
=0
h
˜
L
j
w
(
i
)
α
, w
(
j
)
α
+ ˜
L
mjG
i )
√
G d
4
x.
Последнее равенство подтверждает, предположение Хокинга [5] о
том, что евклидова (риманова) структура пространства – времени явля-
ется более фундаментальной, чем лоренцева (псевдориманова) струк-
тура. При этом переход от римановой структуры к псевдоримановой
может рассматриваться как аналог спонтанного нарушения симме-
трии. Чтобы убедиться в этом, рассмотрим функционал действия для
римановой метрики
G
αβ
в пустом пространстве:
S
=
Z
κR
G
√
Gd
4
x.
Выражая риманову метрику
G
αβ
через псевдориманову метрику
g
αβ
и
векторное поле
u
α
, получаем
S
=
Z
(
κR
g
+
F
)
√ −
gd
4
x,
где
F
— некоторое выражение, зависящее от метрики
g
αβ
, векторного
поля
u
α
и его ковариантных производных. Таким образом, поле
u
α
может рассматриваться как один из источников метрики
g
αβ
. Когда
функционал действия для метрики
G
αβ
включает источники, тогда
функционал действия для метрики
g
αβ
кроме поля
u
α
будет содержать
и другие источники.
Возможное сосуществование нескольких лоренцевых (псевдори-
мановых) структур может проявляться в виде эффекта “темной мате-
рии” и “темной энергии”.
66
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2015. № 1