Background Image
Previous Page  2 / 8 Next Page
Information
Show Menu
Previous Page 2 / 8 Next Page
Page Background

Из уравнений Эйлера – Лагранжа

μ

δ

(

√ −

gL

)

δ∂

μ

φ

δ

(

√ −

gL

)

δφ

= 0

получим уравнение

φ

+

V

0

(

φ

) = 0

,

где

V

0

(

φ

) =

dV

(

φ

)

/dφ

. Учиты-

вая кривизну пространства–времени, запишем оператор д’Аламбера в

виде

φ

=

1

√ −

g

∂x

μ

√ −

gg

μν

∂φ

∂x

ν

.

Окончательное уравнение, определяющее динамику инфляционного

поля, будет иметь вид [1]

¨

φ

+ 3

H

˙

φ

− ∇

2

φ

a

2

+

V

0

(

φ

) = 0

,

(2)

где

H

= ˙

a/a

— параметр Хаббла;

a

— масштабный фактор.

Поскольку скалярное поле в силу равенства нулю недиагональных

компонент тензора Эйнштейна зависит только от времени, можно от-

бросить третий член уравнения (2)

¨

φ

+ 3

H

˙

φ

+

V

0

(

φ

) = 0

.

(3)

Уравнение (3) и уравнение Эйнштейна

H

2

=

1

3

M

2

P

1

2

˙

φ

2

+

V

(

φ

)

определяют эволюцию скалярного поля.

Плотность энергии и плотность давления.

Варьируя дей-

ствие (1) по метрике

g

μν

, получаем выражение для тензора энергии–

импульса

T

μν

=

μ

φ∂

ν

φ

g

μν

L

. Сравнивая с релятивистским тензором

энергии–импульса идеальной жидкости

T

μν

= (

p

+

ρ

)

u

μ

u

ν

+

g

μν

p

за-

пишем уравнения для плотности энергии

ρ

φ

и плотности давления

p

φ

:

T

0

0

=

ρ

φ

=

˙

φ

2

2

+

V

(

φ

) +

(

φ

)

2

2

a

2

;

T

i

i

=

p

φ

=

˙

φ

2

2

V

(

φ

)

(

φ

)

2

2

a

2

.

Из уравнений Эйнштейна следует, что инфляционное поле простран-

ственно однородно, поэтому отбрасываем пространственные произ-

водные [1]. Если

V

(

φ

) ˙

φ

2

, то получаем условие

ρ

φ

' −

p

φ

, что являет-

ся условием инфляционной стадии. Инфляция управляется вакуумной

энергией инфляционного поля и, таким образом, получается деситте-

ровское расширение.

Приближение медленного скатывания.

Такое приближение опре-

деляет часть потенциала, где происходит инфляция. Необходимо вы-

полнение двух условий [1].

38

ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2015. № 4