принцип детерминированности справедлив для всех механический си-
стем. Однако контрпример показывает, что недетерминированные ме-
ханические системы существуют.
Замечание.
В начальный момент времени равны нулю скорость и
ускорение точки, а также сила, действующая на точку. Следовательно,
равенство нулю силы, действующей на точку, и начальных значений
скорости и ускорения не означает, что она будет находиться в равно-
весии. При этом подравновесием понимается сохранение заданного
положения (или равенство нулю скорости) в течение некоторого от-
резка времени.
В конрпримере сила является потенциальной. Потенциальная энер-
гия
Π =
−
3
4
kx
4
/
3
имеет в начальном положении изолированный мак-
симум. Аналогичное уравнение движения можно получить для сколь-
жения материальной точки по гладкой горке, расположенной в вер-
тикальной плоскости. Положение на вершине этой горки (максимум
потенциальной энергии) при этом не является положением равнове-
сия.
Если выполнены условия теоремы существования и единственно-
сти решения дифференциальных уравнений движения, то механиче-
ская система является детерминированной. Обратное утверждение не
верно. Например, если в контрпримере поменять знак силы, то диф-
ференциальное уравнение движения
m
¨
x
=
−
kx
1
/
3
не удовлетворяет в
начальном положении условиям теоремы существования и единствен-
ности решения, но имеет при этом единственное решение
x
≡
0
, т.е.
система является детерминированной. Отметим, что подобные диф-
ференциальные уравнения движения возникают в модели удара Герца
(контактной задаче) [12].
Остановимся на ошибках в известных доказательствах достаточ-
ности условий принципа виртуальных перемещений.
В учебниках П. Аппеля [3], Е.Н. Березкина [4], К.С. Колесникова
[5], Н.Н. Никитина [6] и др. доказательство проводится от противного.
Пусть выполнены условия (1) и начинают двигаться некоторые ма-
териальные точки системы. Начальные скорости равны нулю, и эти
материальные точки начинают двигаться в направлении действующей
на них силы. Тогда на действительном перемещении для этих точек
элементарная работа активной силы и силы реакции связей
( ¯
F
k
+
+ ¯
R
k
)
d
¯
r
k
>
0
. Следовательно,
dA
=
k
¯
F
k
d
¯
r
k
+
k
¯
R
k
d
¯
r
k
>
0
. Для
стационарных связей действительное перемещение является одним из
виртуальных. На этом виртуальном перемещении сумма работ сил ре-
акции связей равна нулю в силу идеальности связей и сумма работ
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2012. № 2
61
