активных сил
δA
=
k
¯
F
k
δ
¯
r
k
=
dA >
0
, что противоречит условию
принципа.
Ошибка авторов заключается в неверной трактовке действитель-
ного перемещения системы. Действительное перемещение — это диф-
ференциал радиус-вектора точки, и оно равно нулю (
d
¯
r
k
= ¯
V
k
dt
= 0
)
для всех точек системы, так как движение начинается из положения с
нулевыми скоростями. Тогда
dA
= 0
.
В учебнике С.М. Тарга [7] доказательство проводится на основе те-
оремы об изменении кинетической энергии. Пусть выполнены условия
(1) и механическая система начинает двигаться, тогда сумма элемен-
тарных работ
dA
=
k
¯
F
k
d
¯
r
k
+
k
¯
R
k
d
¯
r
k
=
dT
, а изменение кинети-
ческой энергии
dT
будет положительным, так как в исходном положе-
нии система была неподвижна. Тогда
dA >
0
и далее доказательство
С.М. Тарга повторяет предыдущее.
Ошибка автора в сущности совпадает с ошибкой предыдущего до-
казательства и связана с неверной трактовкой дифференциала кинети-
ческой энергии. На самом деле
dT
=
k
m
k
V
k
dV
k
= 0
в силу того,
что
¯
V
k
(
t
0
) = 0
.
На эти ошибки в доказательстве достаточности условий принципа
виртуальных перемещений ранее указывалось в статье Г.Д. Блюмина
[11].
В учебниках Н.В. Бутенина с соавторами [8], Ю.Ф. Голубева [9]
и статье Г.Д. Блюмина [11] приведено более удачное доказательство,
которое исправляет указанные ошибки. Авторами показано, что суще-
ствует виртуальное перемещение системы
δ
¯
r
k
=
ε
¯
a
k
(
k
= 1
,
2
, . . . , n
)
,
(3)
где
¯
a
k
— ускорение
k
-й точки системы,
ε
— положительная бесконечно
малая величина. Доказательство принципа проводится от противного.
Пусть условия (1) выполнены и система начала двигаться. Тогда на
этом виртуальном перемещении в силу идеальности связей и уравне-
ний движения (2)
δA
=
k
¯
F
k
δ
¯
r
k
=
k
¯
F
k
+ ¯
R
k
δ
¯
r
k
=
=
ε
k
¯
F
k
+ ¯
R
k
¯
a
k
=
ε
k
¯
F
k
+ ¯
R
k
2
m
k
>
0
,
что противоречит условиям (1).
Неточность авторов заключается в том, что система может начать
двигаться из состояния покоя, так что при этом ускорения всех точек
62
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2012. № 2
