будут равняться нулю, т.е. в силу уравнений движения и силы будут
равняться нулю:
¯
F
k
+ ¯
R
k
= 0
. Именно такой случай рассмотрен в
контрпримере (см. замечание).
На самом деле незначительная модификация этого доказательства
показывает, что если выполнены условия (1) принципа виртуальных
перемещений, то в начальный момент времени имеет место равенство
нулю сил, приложенных к каждой точке системы:
¯
F
k
+ ¯
R
k
= 0
[10].
Однако этого не достаточно для равновесия системы.
Действительно, на виртуальном перемещении (3)
δA
=
k
¯
F
k
δ
¯
r
k
=
k
¯
F
k
+ ¯
R
k
δ
¯
r
k
=
ε
k
¯
F
k
+ ¯
R
k
¯
a
k
=
=
ε
k
¯
F
k
+ ¯
R
k
2
m
k
=
ε
k
m
k
¯
a
2
k
= 0
,
следовательно,
¯
F
k
+ ¯
R
k
= 0
,
¯
a
k
= 0
при
k
= 1
,
2
, . . . , n
.
Уточнение формулировки достаточности условий принципа вир-
туальных заключается в том, что механическая система должна быть
детерминированной.
Лемма.
Если в начальный момент времени скорости и ускорения
всех точек механической системы раны нулю и система является де-
терминированной при данных начальных условиях, то система нахо-
дится в равновесии.
Доказательство.
В силу уравнений движения (2) сила, действую-
щая на
k
-ю точку системы, равна нулю:
¯
F
k
+ ¯
R
k
= 0
. Тогда уравнения
движения (2) имеют решение
¯
r
k
(
t
)
≡
¯
r
k
(
t
0
) = ¯
r
0
k
(
k
= 1
,
2
, . . . , n
)
,
которому соответствует равновесие системы. В силу детерминирован-
ности системы это решение является единственным.
Теорема (достаточность принципа виртуальных перемеще-
ний).
Рассмотрим механическую систему, на которую наложены
голономные, удерживающие, стационарные и идеальные связи. Если
1)
сумма виртуальных работ активных сил равна нулю
(
δA
=
=
k
¯
F
k
δ
¯
r
k
= 0)
,
2)
начальные скорости всех точек системы равны нулю
( ¯
V
k
(
t
0
) = 0
,
k
= 1
,
2
, . . . n
)
,
3)
система является детерминированной в окрестности началь-
ного состояния
(¯
r
k
(
t
0
) = ¯
r
0
k
,
¯
V
k
(
t
0
) = 0
, k
= 1
,
2
, . . . , n
)
,
то система находится в равновесии.
Доказательство.
Проведем от противного. Если система начинает
двигаться, то в силу леммы ускорение хотя бы одной точки отлично
от нуля, а тогда справедливо доказательство, приведенное в [8, 9, 11].
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2012. № 2
63
