УДК 531.3
В. В. Л а п ш и н
О ПРИНЦИПЕ ВИРТУАЛЬНЫХ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ
Приведена уточненная формулировка и дано доказательство до-
статочности условий принципа виртуальных перемещений.
E-mail:
Ключевые слова
:
принцип виртуальных перемещений.
Принцип виртуальных перемещений, сформулированный И. Бер-
нулли в 1717 г. [1], — один из классических результатов теоретической
механики — рассматривается в учебниках по теоретической механи-
ке [2–9]. Известны обобщения этого принципа на случай неудержива-
ющих [1, 4], неголономных [1, 2, 9–11], нестационарных [11] и неиде-
альных [1] связей.
Рассмотрим классическую формулировку принципа:
для равнове-
сия механической системы, на которую наложены голономные, удер-
живающие, стационарные и идеальные связи, необходимо и доста-
точно, чтобы сумма работ всех активных сил, приложенных к точ-
кам системы, на любом виртуальном перемещении равнялась нулю и
скорости всех точек системы в начальный момент времени равнялись
нулю
, т.е.
δA
=
k
¯
F
k
δ
¯
r
k
= 0
,
¯
V
k
(
t
0
) = 0 (
k
= 1
,
2
, . . . , n
)
.
(1)
При этом рассматривается механическая система, состоящая из
n
материальных точек. Уравнения движения системы имеют вид
m
k
¨¯
r
k
= ¯
F
k
+ ¯
R
k
(
k
= 1
,
2
, . . . , n
)
,
(2)
где
m
k
— масса
k
-й точки системы,
¯
r
k
— ее радиус-вектор;
¯
F
k
— актив-
ная сила;
¯
R
k
— реакции идеальных связей, приложенные к
k
-й точке
системы.
Необходимость принципа виртуальных перемещений и его дока-
зательство не вызывают сомнений. Отметим, что в изложении курса
теоретической механики можно ограничиться формулировкой и дока-
зательством необходимости условий принципа [2].
Доказательство достаточности условий принципа виртуальных пе-
ремещений в [3–9] является ошибочным. Более того, и формулировка
условий достаточности является не полной.
Приведем контрпример. Рассмотрим (рисунок) движение матери-
альной точки вдоль гладкой горизонтальной направляющей под дей-
ствием активной силы
F
=
kx
1
/
3
, гд е
k
= const
>
0
, при начальных
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2012. № 2
59
