Задача типа Стефана с произвольным числом подвижных границ фазовых превращений - page 3

Задача (1)–(9) — нелинейная, в чем можно убедиться подставив
уравнения (1)–(3) в краевые условия (4), (5).
Решением задач для уравнений (1)–(3) с граничными условиями
первого рода (5)–(7) будут функции [2]
T
1
(
x, t
) =
T
1
1
erf
x
2
a
1
t
1
erf
x
1
(
t
)
2
a
1
t
+
T
0
erf
x
2
a
1
t
erf
x
1
(
t
)
2
a
1
t
1
erf
x
1
(
t
)
2
a
1
t
,
x
1
(
t
)
< x <
, t >
0;
(10)
T
s
(
x, t
) =
=
T
s
1
erf
x
s
(
t
)
2
a
s
t
T
s
erf
x
s
1
(
t
)
2
a
s
t
+
T
s
T
s
1
erf
x
2
a
s
t
erf
x
s
(
t
)
2
a
s
t
erf
x
s
1
(
t
)
2
a
s
t
,
x
s
(
t
)
< x < x
s
1
(
t
)
, t >
0;
s
= 2
, n
1;
(11)
T
n
(
x, t
) =
=
T
w
1
T
w
1
T
n
1
erf
x
2
a
n
t
erf
x
n
1
(
t
)
2
a
n
t
,
0
< x < x
n
1
(
t
)
, t >
0
.
(12)
В формулах (10)–(12) координаты
x
s
(
t
)
, s
= 1
, n
1
, подвиж-
ных границ не известны. Для их определения имеются
2
n
2
краевых
условия стефановского типа (4), (5). Из представления решений (10)–
(12) ясно, что зависимости
x
s
(
t
)
,
s
= 1
, n
1
, должны быть пропор-
циональны
a
s
t
, т.е.
x
s
(
t
) =
χ
s
·
2
a
s
t, s
= 1
, n
1
,
(13)
где коэффициенты пропорциональности
χ
s
,
s
= 1
, n
1
, подлежат
определению, причем поскольку
x
s
1
(
t
)
> x
s
(
t
)
, то для любых мо-
ментов времени постоянные
χ
s
1
> χ
s
. В этом случае решения (10)–
(12) с учетом (13) примут форму
T
1
(
x, t, χ
1
) =
T
1
1
erf
x
2
a
1
t
1
erf
(
χ
1
)
+
T
0
erf
x
2
a
1
t
erf
(
χ
1
)
1
erf
(
χ
1
)
,
x
1
(
t
)
< x <
, t >
0;
(14)
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2010. № 2
51
1,2 4,5,6,7,8,9
Powered by FlippingBook