Задача (1)–(9) — нелинейная, в чем можно убедиться подставив
уравнения (1)–(3) в краевые условия (4), (5).
Решением задач для уравнений (1)–(3) с граничными условиями
первого рода (5)–(7) будут функции [2]
T
1
(
x, t
) =
T
∗
1
1
−
erf
x
2
√
a
1
t
1
−
erf
x
∗
1
(
t
)
2
√
a
1
t
+
T
0
erf
x
2
√
a
1
t
−
erf
x
∗
1
(
t
)
2
√
a
1
t
1
−
erf
x
∗
1
(
t
)
2
√
a
1
t
,
x
∗
1
(
t
)
< x <
∞
, t >
0;
(10)
T
s
(
x, t
) =
=
T
∗
s
−
1
erf
x
∗
s
(
t
)
2
√
a
s
t
−
T
∗
s
erf
x
∗
s
−
1
(
t
)
2
√
a
s
t
+
T
∗
s
−
T
∗
s
−
1
erf
x
2
√
a
s
t
erf
x
∗
s
(
t
)
2
√
a
s
t
−
erf
x
∗
s
−
1
(
t
)
2
√
a
s
t
,
x
∗
s
(
t
)
< x < x
∗
s
−
1
(
t
)
, t >
0;
s
= 2
, n
−
1;
(11)
T
n
(
x, t
) =
=
T
w
1
−
T
w
1
−
T
∗
n
−
1
erf
x
2
√
a
n
t
erf
x
∗
n
−
1
(
t
)
2
√
a
n
t
,
0
< x < x
∗
n
−
1
(
t
)
, t >
0
.
(12)
В формулах (10)–(12) координаты
x
∗
s
(
t
)
, s
= 1
, n
−
1
, подвиж-
ных границ не известны. Для их определения имеются
2
n
−
2
краевых
условия стефановского типа (4), (5). Из представления решений (10)–
(12) ясно, что зависимости
x
∗
s
(
t
)
,
s
= 1
, n
−
1
, должны быть пропор-
циональны
√
a
s
t
, т.е.
x
∗
s
(
t
) =
χ
s
·
2
√
a
s
t, s
= 1
, n
−
1
,
(13)
где коэффициенты пропорциональности
χ
s
,
s
= 1
, n
−
1
, подлежат
определению, причем поскольку
x
∗
s
−
1
(
t
)
> x
∗
s
(
t
)
, то для любых мо-
ментов времени постоянные
χ
s
−
1
> χ
s
. В этом случае решения (10)–
(12) с учетом (13) примут форму
T
1
(
x, t, χ
1
) =
T
∗
1
1
−
erf
x
2
√
a
1
t
1
−
erf
(
χ
1
)
+
T
0
erf
x
2
√
a
1
t
−
erf
(
χ
1
)
1
−
erf
(
χ
1
)
,
x
∗
1
(
t
)
< x <
∞
, t >
0;
(14)
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2010. № 2
51
