F
II
(
χ
1
, χ
2
) =
C
exp
−
χ
2
2
a
2
a
3
erf
χ
2
a
2
a
3
−
D
exp (
−
χ
2
2
)
erf
χ
1
a
1
a
2
−
erf
(
χ
2
)
−
χ
2
= 0
,
(18)
где
E
=
λ
2
c
2
ρ
2
c
1
πλ
1
ρ
1
T
∗
2
−
T
∗
1
Q
∗
1
;
F
=
c
1
√
π
T
∗
1
−
T
0
Q
∗
1
;
C
=
λ
3
c
3
ρ
3
c
2
πλ
2
ρ
2
T
w
1
−
T
∗
1
Q
∗
2
;
D
=
c
2
√
π
T
∗
2
−
T
∗
1
Q
∗
2
.
Поскольку
F
I
(
χ
1
, χ
2
)
,
F
II
(
χ
1
, χ
2
)
— дифференцируемые функции,
то для нахождения
χ
1
, χ
2
можно применить итерационный процесс
Ньютона (при условии, что на каждой итерации матрицы Якоби си-
стемы (17), (18) — не вырождены). Однако для применения итераци-
онных процедур необходимо найти начальное приближение вектора
неизвестных
χ
(0)
1
, χ
(0)
2
т
. Для системы двух уравнений это можно
сделать графически, построив кривые
F
I
(
χ
1
, χ
2
) = 0
,
F
II
(
χ
1
, χ
2
) = 0
и найдя точку их пересечения; при этом каждую точку на плоскости
χ
1
0
χ
2
для каждой кривой необходимо находить итерационным мето-
дом из соответствующего уравнения (17) или (18). Найденную точку
пересечения используем для задания начального вектора
χ
(0)
1
, χ
(0)
2
т
,
после чего применяем итерационный процесс уточнения
χ
1
и
χ
2
.
Подставив далее найденные значения
χ
1
,
χ
2
и теплофизические
характеристики в решения (13)–(16), получим нестационарное темпе-
ратурное поле в трех областях с двумя нестационарно подвижными
границами, координаты которых определены по формуле (13).
Сложность решения системы (17), (18) двух трансцендентных
уравнений заключается в том, что элементы матрицы Якоби
⎡
⎢⎢⎢⎢⎣
∂F
I
(
χ
1
, χ
2
)
∂χ
1
∂F
I
(
χ
1
, χ
2
)
∂χ
2
∂F
II
(
χ
1
, χ
2
)
∂χ
1
∂F
II
(
χ
1
, χ
2
)
∂χ
2
⎤
⎥⎥⎥⎥⎦
имеют очень большие значения в окрестности вектора-решения
(
χ
1
, χ
2
)
т
и малые колебания итерационных значений
χ
1
, χ
2
приводят
к значительным колебаниям элементов этой матрицы, что может уво-
дить расчеты от решения
(
χ
1
, χ
2
)
т
и приводить к аварийному останову.
Поэтому компоненты начального вектора
χ
(0)
1
, χ
(0)
2
т
необходимо вы-
числять с высокой точностью, с отклонением от компонент точного
вектора
(
χ
1
, χ
2
)
т
на несколько процентов.
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2010. № 2
53
