D
=
{
x
∈
R
n
:
a
j
x
j
b
j
, j
∈
J
}
.
(3)
Здесь использованы следующие обозначения:
f
(
x
)
— целевая функ-
ция;
x
— вектор переменных управления;
g
i
(
x
)
— функции ограниче-
ний задачи,
i
∈
I
;
I
=
{
1
, . . . , m
}
— конечное множество индексов;
X
— допустимая область;
D
— область поиска;
x
∗
— глобальное ре-
шение;
n
— размерность задачи;
J
=
{
1
, . . . , n
}
; через
R
n
обозначено
n
-мерное вещественное линейное пространство.
Функции
f
(
x
)
,
g
i
(
x
)
,
i
∈
I
, задачи (1)–(3) предполагаются липши-
цевыми. Так функция
f
(
x
)
удовлетворяет условию
|
f
(
x
)
−
f
(
x
)
|
L x
−
x , x , x
∈
X,
(4)
где
L
— константа Липшица,
0
< L <
∞
;
·
— евклидова норма.
Предположим, что действительная функция
f
:
R
n
→
R
является
многоэкстремальной, не всюду дифференцируемой и для нее задана
вычислительная процедура, позволяющая определять значения функ-
ции в точках допустимой области. Необходимо также учесть возмож-
ную высокую трудоемкость вычисления критериальных функций и
соответствующие требования к вычислительным ресурсам.
Алгоритмы глобальной оптимизации.
Детерминированные ме-
тоды решения задач глобальной оптимизации многоэкстремальных
функций к настоящему времени достаточно хорошо разработаны и
находят широкое применение. Так, версия алгоритма TRUST [8] была
реализована в работе [9] для диагностирования фазового состава те-
плоносителя в контуре сложной гидромеханической системы. Следует
отметить, что эффективность детерминированных алгоритмов суще-
ственно ограничена их зависимостью от размерности задачи [7]. В
случае большого числа переменных применяют алгоритмы стохасти-
ческой глобальной оптимизации. К ним относятся алгоритмы модели-
руемого отжига, генетические, управляемого случайного поиска и др.
Вместе с тем чувствительность к выбору параметров алгоритмов этого
типа, устанавливаемых пользователем или обусловленных содержани-
ем задачи, во многом определяет скорость сходимости итерационного
процесса. Этого недостатка лишен алгоритм PCA [1], один из наи-
более мощных современных стохастических алгоритмов глобальной
оптимизации. Существенным шагом алгоритма является сравнитель-
ная оценка качества решения, определяемого текущей и предшествую-
щей конфигурациями системы. Пробное приближение принимается с
определенной вероятностью, что исключает сходимость к локальному
минимуму при поиске глобального решения. Алгоритм PCA удобен
для реализации и может использоваться при решении как непрерыв-
ных, так и дискретных задач оптимизации.
4
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2010. № 3
