˜
g
(
p, q, x
)
, w
+ ˜
g
i
(
p, q, x
) 0
, i
∈
I
δ
(
x
)
,
(12)
разрешима относительно
w
∈
E
n
при любом
x
∈
Ω
N
и существу-
ют такие множители Лагранжа
u
i
(
x
)
,
i
∈
I
δ
(
x
)
, что
i
∈
I
δ
(
x
)
u
i
(
x
)
N
(через
E
n
обозначено
n
-мерное евклидово пространство;
·
,
·
—
скалярное произведение).
Алгоритм решения рассматриваемой задачи локальной минимиза-
ции включает в себя следующие основные шаги. Пусть
x
0
— начальное
приближение, выбраны
ε
,
0
< ε <
1
, а также параметры аппроксима-
ции
p <
0
,
q >
0
и уже получена точка
x
k
.
1. Решить задачу (11), (12) при
x
=
x
k
и определить вектор
w
k
=
w p, q, x
k
.
2. Найти первое значение
r
= 0
,
1
, . . .
, при котором будет выполне-
но неравенство
˜
f p, q, x
k
+ (1
/
2)
r
w
k
+
N
˜
G p, q, x
k
+ (1
/
2)
r
w
k
˜
f p, q, x
k
+
N
˜
G p, q, x
k
−
(1
/
2)
r
ε w
k
2
.
для
α
= (1
/
2)
r
. Eс ли такое
r
=
r
0
найдено, то положить
α
k
= 2
−
r
0
,
x
k
+1
=
x
k
+
α
k
w
k
.
Из представленных в [12] результатов следует, что
w
(
p, q, x
)
есть
решение задачи (11), (12) тогда и только тогда, когда существуют такие
множители Лагранжа
u
i
0
,
i
∈
I
δ
(
x
)
, что
˜
f
(
p, q, x
) +
w
т
+
i
∈
I
δ
(
x
)
u
i
˜
g
i
(
p, q, x
) = 0;
u
i
( ˜
g
(
p, q, x
)
, w
+ ˜
g
i
(
p, q, x
)) = 0
, i
∈
I
δ
(
x
)
.
Теперь можно сформулировать теорему о сходимости процесса,
порождаемого алгоритмом локальной минимизации.
Теорема 2.
Если выполнены предположения а–в, то процесс обла-
дает следующими свойствами
: а)
˜
G p, q, x
k
→
0
при
k
→ ∞
;
б)
в любой предельной точке
x
∗
последовательности
x
k
,
k
= 0
,
1
, . . . ,
выполняются неравенства
(2)
и необходимые условия минимума функ-
ции
˜
f
(
p, q, x
)
при ограничениях
(2)
,
(3)
.
Доказательство.
Для доказательства достаточно прямой ссылки
на теорему 2.1 [12, с. 48] и теорему 1.
Рассмотрим задачу минимизации (1), (3) для случая простых огра-
ничений: требуется найти
min
x
˜
f
(
p, q, x
) :
a
j
x
j
b
j
, j
∈
J .
(13)
8
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2010. № 3
