При этом [14]
s
(
p, q,
0) =
−
pη
(
p, q
)
,
где
η
(
p, q
) = 1 +
θ
−
2 (1 +
θ
) (
θ
2
−
1)
;
θ
=
−
p/q
.
Некоторые существенные свойства сглаженной функции устана-
вливают следующие утверждения [14].
Лемма 1.
Если аппроксимирующая функция
˜
γ
:
R
→
R
определена
в виде
(8)
и заданы параметры
p <
0
,
q >
0
, то
lim
p
↑
0
˜
γ
(
p, q, x
) =
γ
(
x
)
.
Лемма 2.
Пусть выполнены предположения леммы 1. Тогда
0 ˜
γ
(
p, q, x
)
−
γ
(
x
)
−
pη
(
p, q
)
∀
x
∈
R
.
Получена также оценка приближенного решения задачи минимиза-
ции не всюду дифференцируемой критериальной функции
f
:
R
n
→
R
при использовании двухпараметрических сглаживающих аппроксима-
ций.
Теорема 1 [14].
Пусть
x
∗
∈
R
n
и
˜
x
∈
R
n
суть точки минимума
для
f
(
x
)
и
˜
f
(
p, q, x
)
соответственно. Тогда
0 ˜
f
(
p, q,
˜
x
)
−
f
(
x
∗
)
−
p
min
x
∈
X
⊂
R
n
{
1
,
(
m
−
1)
η
(
p, q
)
}
.
Локальная минимизация.
Рассмотрим задачу (1)–(3), огра-
ничившись поиском локального решения. Так как функции
f
(
x
)
,
g
i
(
x
)
, i
∈
I
, не всюду непрерывно дифференцируемы, заменим
их соответствующими сглаживающими аппроксимациями
˜
f
(
p, q, x
)
,
˜
g
i
(
p, q, x
)
,
i
∈
I
, выбрав предварительно параметры
p <
0
,
q >
0
, и
положим
˜
G
(
p, q, x
) = max
i
∈
I
˜
g
i
(
p, q, x
) ;
(9)
I
δ
(
x
) =
i
∈
I
: ˜
g
i
(
p, q, x
) ˜
G
(
p, q, x
)
−
δ , δ
0
.
(10)
Пусть
x
∗
— локальное решение задачи. Обозначим
˜
f
∗
= ˜
f
(
p, q, x
∗
)
;
˜
G
∗
= ˜
G
(
p, q, x
)
. Градиент
˜
f
(
p, q, x
)
понимается как вектор-строка.
Следуя [12], предположим, что существуют константы
N >
0
,
δ >
0
,
такие, что:
а) множество
Ω
N
=
x
: ˜
f
(
p, q, x
) +
N
˜
G
(
p, q, x
) ˜
f
∗
+
N
˜
G
∗
ограничено;
б) градиенты функций
˜
f
(
p, q, x
)
,
˜
g
i
(
p, q, x
)
, i
∈
I
, удовлетворяют
в
Ω
N
условию Липшица (4);
в) задача квадратичного программирования
min ˜
f
(
p, q, x
)
, w
+ 1
/
2
w
2
,
(11)
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2010. № 3
7
