фективного программного обеспечения, позволяющего оперативно по-
лучать решения сприемлемой для практики точностью. Подход пред-
полагает замену каждой недифференцируемой функции некоторой ее
аппроксимацией, которая была бы выпуклой и дифференцируемой в
области допустимых значений переменных управления.
Целевую функцию (5) можно определить в эквивалентной форме
[15]
f
(
x
) =
ϕ
1
(
x
) +
γ
(
ϕ
2
(
x
)
−
ϕ
1
(
x
) +
γ
(
. . .
+
+
γ
(
ϕ
m
−
1
(
x
)
−
ϕ
m
−
2
(
x
) +
γ
(
ϕ
m
(
x
) +
ϕ
m
−
1
(
x
)))
. . .
))
,
(6)
где
γ
(
ϕ
i
(
x
)) = max
x
∈
X
⊂
R
n
{
0
, ϕ
i
(
x
)
}
, i
∈
I
M
.
(7)
Основная идея метода, предложенного в [15] для решения зада-
чи недифференцируемой минимизации, состоит в том, чтобы каждую
функцию
γ
(
ϕ
i
(
x
))
,
i
∈
I
M
, входящую в (6), заменить некоторой глад-
кой функцией, построить сглаженную приближенную целевую функ-
цию, а затем применить эффективные методы гладкой минимизации.
При возрастании точности аппроксимации функций (7) имеет место
сходимость приближенного решения к точному.
Существенно, что уже в одномерном случае функция
γ
(
x
) =
= max
x
∈
X
⊂
R
{
0
, x
}
в точке
x
= 0
дифференцируема только по направ-
лениям. При этом возможен следующий подход [14]: на числовой
оси выделяется отрезок
[
p, q
]
, содержащий точку, в которой функ-
ция
γ
(
x
)
имеет указанную особенность, и на этом отрезке исходная
функция заменяется некоторой приближенной функцией, выпуклой и
дифференцируемой в каждой точке по построению. Пусть выбраны
числа
p <
0
и
q >
0
. Вводится двухпараметрическая аппроксимация
функции
γ
:
R
→
R
˜
γ
(
p, q, x
) =
⎧⎨
⎩
0
, x p
;
s
(
p, q, x
)
, p < x < q
;
x, x q.
(8)
Здесь
p, q
— параметры аппроксимации, определяющие соответствен-
но левую и правую границы отрезка
[
p, q
]
, на котором задана сглажи-
вающая функция
s
(
p, q, x
)
. Приближенная функция
˜
γ
(
p, q, x
)
, пред-
ставленная в (8), совпадает с исходной функцией
γ
(
x
)
всюду, за ис-
ключением отрезка
[
p, q
]
. Потребуем, чтобы функция
s
(
p, q, x
)
была
выпуклой и, по крайней мере, один раз дифференцируемой на
[
p, q
]
.
Указанными свойствами обладает, например, дуга кривой, описывае-
мой уравнением второй степени [16]
a
11
x
2
+ 2
a
12
xs
+
a
22
s
2
+ 2
a
13
x
+ 2
a
23
s
+
a
33
= 0
.
6
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2010. № 3
