Здесь
˜
f
(
p, q, x
)
— выпуклая функция; допустимая область
X
совпадает
с областью поиска
D
. Вспомогательная задача принимает вид: найти
min
n
j
=1
∂
˜
f
(
p, q, x
)
∂x
j
w
j
+
1
2
n
j
=1
(
w
j
)
2
:
a
j
x
j
b
j
, j
∈
J .
(14)
Решение задачи (14) дает
w
j
, после чего определяются множители
Куна–Таккера
u
−
j
и
u
+
j
, соответствующие неравенствам
x
j
+
w
j
−
b
j
0
и
−
x
j
−
w
j
+
b
j
0
,
j
∈
J
. Функция Лагранжа записывается в виде
n
j
=1
1
2
(
w
j
)
2
+
∂
˜
f
(
p, q, x
)
∂x
j
w
j
+
u
+
j
(
a
j
−
x
j
−
w
j
) +
u
−
j
(
x
j
+
w
j
−
b
j
)
.
По теореме 1.6 [12, с. 14] для минимизируемой в задаче (13) целе-
вой функции должны выполняться условия
∂
˜
f
(
p, q, x
)
∂x
j
−
u
+
j
+
u
−
j
+
w
j
= 0
, j
∈
J
;
(15)
u
+
j
0
, u
+
j
(
a
j
−
x
j
−
w
j
) = 0
,
u
−
j
0
, u
−
j
(
x
j
+
w
j
−
b
j
) = 0
, j
∈
J.
(16)
Пусть требуется решить задачу (13), выбраны числа
a
j
, b
j
,
j
∈
J
, а
также число
ε
,
0
< ε <
1
, и параметры аппроксимации
p <
0
,
q >
0
.
Алгоритм минимизации включает в себя следующие основные шаги.
0. Выбрать точку
x
0
,
a
j
x
0
j
b
j
,
j
∈
J
.
1. Если точка
x
k
уже построена, то вычислить вектор
w
k
=
w p, q, x
k
.
2. Определить первое значение
r
= 0
,
1
, . . . ,
при котором для
α
= (1
/
2)
r
будет выполнено неравенство
˜
f p, q, x
k
+
αw
k
˜
f p, q, x
k
−
εα w
k
2
.
Eсли такое
r
=
r
0
найдено, то положить
α
k
= 2
−
r
0
, x
k
+1
=
x
k
+
α
k
w
k
.
Перейти к шагу 1.
3. Критерий остановки
w
k
= 0
.
Теорема 3.
Пусть выбраны параметры
p <
0
,
q >
0
. Если числа
a
j
, b
j
, j
∈
J,
конечны и градиент функции
˜
f
(
p, q, x
)
удовлетворяет
условию Липшица
,
то во всякой предельной точке последовательно-
сти
x
k
, k
= 0
,
1
, . . . ,
удовлетворяются необходимые условия мини-
мума
.
Доказательство.
В рассматриваемом случае точки последователь-
ности
x
k
не выходят за пределы ограниченной области. Вспомога-
тельная задача (14) всегда разрешима относительно
w
=
w
(
p, q, x
)
, а
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2010. № 3
9
