σ
ij
=
C
э
ijkl
ε
kl
,
где
C
э
ijkl
— экспериментально определяемые компо-
ненты тензора коэффициентов упругости композита, которые следует
сопоставить с соответствующими компонентами
C
ijkl
=
λ
α
δ
ij
δ
kl
+
μ
α
(
δ
ik
δ
jl
+
δ
il
δ
jk
) +
N
X
n
=1
ν
n
G l
ν
n
i
l
ν
n
j
l
ν
n
k
l
ν
n
l
модели (3). Для этого будем искать минимальное значение функции
ошибок, задаваемой выражением
V
(
{
x
}
) =
s X
M
э
(
C
ijkl
/C
э
ijkl
−
1)
2
,
(4)
где
{
x
}
=
{
E
α
, ν
α
,
ν
1
G, . . .
ν
N
G
}
т
, причем
E
α
и
ν
α
— модуль продольной
упругости и коэффициент Пуассона матрицы соответственно, через
которые можно однозначно выразить константы Ламе
λ
α
и
u
α
;
M
э
—
число известных значений
C
э
ijkl
.
На аргументы функции ошибок (4) наложены естественные огра-
ничения
E
α
>
0
,
|
ν
α
|
6
0
,
5
и
ν
n
G >
0
, для учета которых введем
штрафную функцию
P
(
{
x
}
) =
r
(
f
E
α
+
f
ν
α
) +
r
N
X
n
=1
f
n
,
где
r
— весовой коэффициент,
0
6
r
6
1
;
f
E
α
=
1
/E
α
при
E
α
> ξ,
2
/ξ
−
E
α
/ξ
2
при
E
α
6
ξ,
f
ν
α
=
1
/
(0
,
5
− |
ν
α
|
)
при
0
,
5
− |
ν
α
|
> ξ
0
,
1
/ξ
0
−
0
,
5 +
|
ν
α
|
при
0
,
5
− |
ν
α
|
6
ξ
0
,
f
n
=
(
1
/
ν
n
G
при
ν
n
G > ξ,
2
/ξ
−
ν
n
G/ξ
2
при
ν
n
G
6
ξ,
где
ξ
и
ξ
0
— малые параметры.
Целевую функцию задаем выражением
ˉ
V
(
{
x
}
) =
V
(
{
x
}
)+
P
(
{
x
}
)
,
а задачу идентификации упругих характеристик компонентов компо-
зита формулируем так: задана целевая функция
ˉ
V
(
{
x
}
)
, нужно найти
такое
{
x
}
,
для которого
ˉ
V
(
{
x
}
)
6
ˉ
V
(
{
x
}
)
при всех значениях
{
x
}
.
Необходимым и достаточным условиями в точке минимума будут ра-
венство нулю градиента целевой функции:
r
ˉ
V
(
{
x
}
) = 0
, и положи-
тельная определенность ее гессиана:
r
2
ˉ
V
(
{
x
}
)
>
0
. Решение будем
искать с помощью модифицированного метода Ньютона [2]
h
H
(
{
x
c
}
)
i
{
s
}
=
−r
ˉ
V
(
{
x
c
}
)
,
(5)
36
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2009. № 4
