ω
= 0
и обрывается на некоторой частоте
ω
m
; последняя может быть
определена условием равенства полного числа колебаний предельному
значению
DN
A
ν
, откуда
ω
m
= Λ
2
π
2
DN
A
ν
V
σ
D
.
Таким образом, распределение частот в данной модели задается
формулой
g
(
ω
) =
N
A
D
2
ν
σ
ω
D
−
σ
σ
ω
D
σ
m
.
Свободная энергия системы определяется соотношением [9]
F
=
Nε
0
+
kT
X
α
ln 1
−
e
−
~
ω/kT
=
=
Nε
0
+
kT
ND
2
ν
σω
D
σ
m
ω
m
Z
0
ω
D
−
σ
σ
ln 1
−
e
−
~
ω/kT
dω.
Можно ввести обобщенную фрактонную дебаевскую температуру
тела
Θ
, тогда
F
=
Nε
0
+
N
A
D
2
νkT
T
Θ
α
Θ
T
Z
0
z
α
−
1
ln(1
−
e
−
z
)
dz,
Θ =
~
ω
m
k
, α
=
D
σ
.
(2)
Вводя обобщенную функцию Дебая порядка
α
и интегрируя (2) по
частям, для энергии Гельмгольца получаем выражение
F
=
Nε
0
+
νRTσ D
ln 1
−
e
−
Θ
T
−
D
α
Θ
T
;
D
α
(
x
) =
D
x
α
x
Z
0
z
α
e
z
−
1
dz.
Тогда для энергии
E
=
F
=
T
∂F
∂T
=
−
T
2
∂
∂T
F
T
имеем
E
=
Nε
0
+
νDRT D
α
Θ
T
,
где
R
— универсальная газовая постоянная. Отсюда для теплоемкости
56
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2008. № 4
