Рис. 4. Вид функции безразмерной обобщенной температуры Дебая в зависимо-
сти от фрактальной размерности (
Θ = 10
3
K)
Таким образом, температуры порядка тысяч градусов для нано-
структур с фрактальной размерностью
D <
3
оказываются “низкими”.
В этом случае верхний предел в выражении для свободной энергии
можно заменить на бесконечность, откуда
F
=
Nε
0
+
νRTD
T
Θ
D
Γ (
D
+ 1)
ζ
(
D
+ 1)
.
где
Γ(
z
)
— гамма-функция Эйлера;
ζ
(
z
)
– дзета-функция Римана.
В состоянии термодинамического равновесия тепловая энергия
имеет максимальное значение
Е
→
max
.
Подстановкой оценочных выражений для обобщенной температу-
ры Дебая легко получить характерный вид зависимости тепловой энер-
гии однородного фрактально-структурного материала от его фракталь-
ной размерности, который показан на рис. 5.
В работе [7] рассматривалась аналогичная задача о теплоемко-
сти фрактальной структуры и ее состояниях равновесия. Однако при
Рис. 5. Зависимость тепловой энергии от фрактальной размерности для одно-
родной структуры
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2008. № 4
59
