где
V
0
— значение скорости на поверхности
x
=
x
0
;
γ
s
— параметр
шира, значение которого полагаем постоянным.
Как известно из теории дрейфовых неустойчивостей, параметры
мод в системе отсчета, движущейся с постоянной скоростью вместе с
плазмой, не зависят от постоянной скорости движения плазмы. Пере-
ход от лабораторной системы отсчета к системе, движущейся с посто-
янной скоростью
V
0
, дает только доплеровский сдвиг действительной
частоты. Поэтому без ограничения общности можно полагать
V
0
= 0
.
Используя соотношения (8), (9) и (12), из (11) получаем нелинейное
уравнение для профиля волны в системе отсчета, движущейся вместе
с волной,
∂X
∂t
+
γ
s
X
∂X
∂y
=
D
∂
2
X
∂y
2
+
γX.
(13)
В качестве начального условия (начального состояния возмуще-
ния) будем рассматривать гармоническую волну с заданными значе-
ниями волнового числа
k
y
и амплитуды
X
0
. Граничные условия задаем
в виде условия пространственной периодичности, соответствующего
значению
k
y
.
Уравнение (13) относится к тому же типу уравнений, что и уравне-
ние Бюргерса [23], которое часто используют в нелинейной акустике
для описания поля скоростей. Известны частные решения уравнений
такого типа в виде однополярных импульсов, разрывов и ударных
фронтов.
Отметим, что на основе несколько отличных от используемых
здесь положений уравнение (13) ранее было выведено в работе [24].
Уравнение (13) с нулевой правой частью может быть получено ис-
ходя из уравнений дрейфового движения частиц [25] и практически
совпадает с уравнением нелинейной дрейфовой волны, полученным
в работе [26]. Таким же уравнением описывается возмущение в пуч-
ке невзаимодействующих частиц [23], почти таким же — нелинейная
звуковая волна без диссипации ([27], § 101).
Проанализируем особенности уравнения (13). В соответствии с
физическим смыслом параметров, входящих в уравнение (13),
γ >
0
,
D >
0
, а
γ
s
может принимать любые значения. В силу симметрии огра-
ничимся рассмотрением случаев
γ
s
>
0
, так как решение для
γ
s
<
0
получается заменой
γ
s
→ −
γ
s
,
y
→ −
y
. Роль источника выполняет
слагаемое
γX
в правой части, а насыщение амплитуды определяется
двумя механизмами, которые можно назвать конвективным (слагаемое
γ
s
X∂X/∂y
)
и диффузионным (слагаемое
D∂
2
X/∂y
2
)
.
При отсутствии ширового течения (
γ
s
= 0)
одномерная гармо-
ническая волна постоянной амплитуды есть стационарное решение
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2008. № 3
7
