уравнения (13) при условии
D
=
k
−
2
y
γ
=
D
0
,
(14)
где
D
0
=
k
−
2
y
γ
— значение коэффициента диффузии, определяемое
формулой (5) при
γ
s
= 0
.
При
γ
s
= 0
начальное гармоническое возмущение возрастает, если
D < D
0
, а при
D > D
0
затухает, что также подтверждается расчетами.
При
γ
s
>
0
насыщение при очень малых значениях
D
происходит
за счет механизма конвекции. В расчетах рассмотрено два случая. В
первом значение
D
считается пропорциональным квадрату амплитуды
стационарного решения, а во втором
D
→
0
. Значение коэффициента
диффузии, соответствующее первому случаю, обозначим
D
. Для него
справедливо соотношение
D /D
0
=
X
2
m
/X
2
m
0
,
(15)
где
X
2
m
и
X
2
m
0
— квадраты амплитуды стационарного решения соот-
ветственно при заданном значении
γ
s
и
γ
s
= 0
.
Результаты расчетов.
В модельном уравнении (13) коэффициент
D
рассматривается как варьируемый параметр. В результате решения
модельного уравнения для заданного
D
было найдено максимальное
значение (амплитуда) стационарного решения, а в результате последо-
вательных приближений — значение коэффициента
D
, обозначенное
D
и удовлетворяющее соотношению (15). При рассмотрении случая
пренебрежимо малого диффузионного насыщения (
D
→
0)
строгое
равенство
D
= 0
не обеспечивает устойчивость выбранной численной
схемы, поэтому принимали
D
= 10
−
2
D
.
Приняты следующие масштабы величин: времени
γ
−
1
; параметра
шира
γ
; амплитуды X
m
0
; коэффициента диффузии
D
0
. Далее числен-
ные значения всех параметров указаны в безразмерных единицах, со-
ответствующих принятым масштабам.
Результаты расчетов приведены на рис. 1–3 и в табл. 1. На рис. 1 по-
казана динамика формирования стационарного решения из начальной
гармонической волны. Изменение амплитуды во времени показано на
рис. 2. Примеры стационарных решений приведены на рис. 3.
Как можно видеть на рис. 1, нелинейная деформация изначально
гармонической волны происходит достаточно быстро. При этом рост
амплитуды на начальной стадии носит линейный характер (см. рис. 2)
с эффективным инкрементом
γ
0
6
= 1
, значения которого для случая
D
=
D
приведены в табл. 1. Скорость роста амплитуды уменьшается
по мере приближения к насыщению. Стадия перехода от линейного
роста к насыщению протекает за время
τ
NL
, также приведенное в
табл. 1 для случая
D
=
D
. При
D D γ
0
≈
0
,
45
,
τ
NL
≈
5
, что
соответствует значениям при
D
=
D
в пределе
γ
s
1
.
8
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2008. № 3
