где
u
(
x, t
)
— поперечные перемещения элемента трубы;
E
— модуль
упругости материала трубы;
J
— момент инерции поперечного сече-
ния;
ρ
— погонная масса среды;
m
— погонная масса трубы;
ξ
1
, ξ
2
—
коэффициенты внутреннего и внешнего демпфирования. Для уравне-
ния (2) заданы граничные условия:
u
(0
, t
) = 0
, u
(
l, t
) = 0
, u
0
(0
, t
) = 0
, u
0
(
l, t
) = 0
.
(3)
Поскольку среда, заполняющая трубу, несжимаемая, изменение да-
вления на входе мгновенно распространяется по трубе. Так как иссле-
дуются только низшие тона колебаний трубы большого удлинения,
соответствующие поперечным перемещениям трубопровода как бал-
ки постоянного сечения, можно пренебречь инерцией оболочки при
ее деформации под действием внутреннего давления, которая про-
является на более высоких тонах колебаний. Взаимодействие упругой
стенки трубы с жидкостью не учитывается. Приближенно считает-
ся, что деформации трубы следуют в фазе за изменением давления
и трубопровод деформируется как цилиндр, нагруженный внутрен-
ним давлением, и радиальное перемещение может быть определено
по формуле, приведенной в работе [5]. В предположении, что отно-
шение
h/D
0
1
, приращение диаметра под действием внутреннего
давления определяется соотношением
D
=
D
0
+ 2
pD
2
0
4
Eh
.
С учетом (1) получаем зависимость диаметра трубы от времени
D
=
D
c
+
D
p
sin(
qt
)
,
(4)
где
D
c
=
D
0
+
p
0
D
2
0
2
Eh
;
D
p
=
p
1
D
2
0
2
Eh
.
Рассматриваем малые изменения диаметра. Вводим малый пара-
метр
ε
=
D
p
D
c
=
D
0
p
1
2
E h
+
D
0
p
0
1
.
Исследование параметрических колебаний будем проводить асимпто-
тическим методом в первом приближении [6]. Выражение (4) прини-
мает вид
D
=
D
c
(1 +
ε
sin(
qt
))
.
(5)
Изменение диаметра трубы приводит к изменению момента инер-
ции сечения
J
и погонной массы среды
ρ
. С точностью до величин,
имеющих первый порядок малости, выражения для них записываются
как
J
=
J
0
[1 + 3
ε
sin(
qt
)] ;
(6)
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2008. № 3
85
