по формуле (6) определяется коэффициентом 3), изменение погон-
ной массы среды в деформированном трубопроводе (
β
j
)
и влияние
инерции вращения поперечного сечения (
μ
j
)
, которое, как показывает
анализ коэффициентов (9), для тонкостенного (
h D
c
)
трубопровода
является малым (
μ
j
β
j
) из-за малости момента инерции сечения
J
0
.
Условие существования области неустойчивости определяется не-
равенством
γ
2
j
>
4
δ
2
j
, где коэффициент демпфирования имеет вид
δ
j
=
k
1
EJ
0
b
j
(
m
+
ρ
0
)
a
j
ω
j
+
k
2
a
j
(
m
+
ρ
0
)
a
j
ω
j
=
k
1
ω
j
+
k
2
(
m
+
ρ
0
)
ω
j
.
В случае
h D
c
условие существования области неустойчивости
можно записать через параметры трубопровода:
D
0
h
<
4
5
m
v
ρ
v
(2
ω
1
k
1
−
3)
5
−
2
ω
1
k
1
.
Для анализа ширины зоны неустойчивости рассмотрим пример
расчета трубопровода со следующими параметрами:
m
v
= 2600
кг/м
3
;
E
= 7
,
1
∙
10
10
Па;
ρ
v
= 1000
кг/м
3
;
l
= 1
м;
D
0
= 0
,
02
м;
h
= 0
,
0005
м;
k
1
=
k
2
= 0
;
p
0
= 10
∙
10
5
Па;
p
1
= 6
∙
10
5
Па. Для трубопровода полу-
чены значения коэффициентов
ε
= 1
,
69
∙
10
−
4
,
m
= 0
,
0817
,
ρ
0
= 0
,
298
,
ρ
1
= 0
,
613
,
J
0
= 1
,
572
∙
10
−
9
.
Запишем функции Крылова для заданных граничных условий:
w
j
(
x
) = cos(
K
j
x
)
−
ch(
K
j
x
) +
λ
j
(sin(
K
j
x
)
−
sh(
K
j
x
)) ;
j
= 1
,
2;
K
1
= 4
,
73;
K
2
= 7
,
85;
λ
1
=
−
0
,
983;
λ
2
=
−
1
,
001
.
Соответствующие интегралы и коэффициенты имеют следующие
значения:
a
1
=
a
2
= 1
,
000
;
b
1
= 500
,
56
;
b
2
= 3803
,
54
;
c
1
=
−
12
,
30
;
c
2
=
−
46
,
05
;
δ
1
=
δ
2
= 0
;
β
1
=
β
2
= 1
,
61
;
μ
1
= 1
,
53
∙
10
−
7
;
μ
2
= 5
,
7
×
×
10
−
7
;
γ
1
=
γ
2
=
−
1
,
39
.
Для первых двух частот собственных колебаний
ω
1
= 383
,
2
1/с;
ω
2
= 1056
,
3
1/с параметрические резонансы и области неустойчивости
q
1
= 2
ω
1
= 766
,
4 0
,
045
1/с
;
q
2
= 2
ω
2
= 2112
,
6 0
,
124
1/с
.
Для трубопроводов с малым моментом инерции
J
0
неравенство для
области неустойчивости можно переписать в виде
2
ω
j
h
1
−
ε
4
q
γ
2
−
4
δ
2
j
i
< q <
2
ω
j
h
1 +
ε
4
q
γ
2
−
4
δ
2
j
i
,
(11)
где
γ
=
ρ
1
/
(
m
+
ρ
0
)
−
3 =
2
D
c
(
D
c
−
h
) (1 +
m
/
ρ
0
)
−
3
.
Максимальная ширина области неустойчивости имеет место при
k
1
=
k
2
= 0
, тогда
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2008. № 3
87
