ρ
=
ρ
0
+
ερ
1
sin(
qt
)
,
(7)
где введены обозначения
J
0
=
π hD
3
c
8
;
ρ
0
=
ρ
v
π
(
D
c
−
h
)
2
4
;
ρ
1
=
ρ
v
π D
2
c
2
1
−
h
D
c
.
Коэффициенты внутреннего и внешнего демпфирования
ξ
1
=
εEk
1
;
ξ
2
=
εk
2
(8)
также считаются малыми.
Решение уравнения малых колебаний (2) находим в виде
u
(
x, t
) =
∞
X
j
=1
ϕ
j
(
t
)
w
j
(
x
)
,
где для приближенного описания форм колебаний использованы функ-
ции Крылова
w
j
(
x
)
, удовлетворяющие граничным условиям (3). После
подстановки в уравнение (2) зависимостей (6)–(8), решение ищем ме-
тодом Бубнова–Галеркина. Соответствующие интегралы обозначаем
как
l
Z
0
w
j
(
x
)
w
j
(
x
)
dx
=
a
j
;
l
Z
0
w
j
(
x
)
w
1
V
j
dx
=
b
j
,
l
Z
0
w
j
(
x
)
w
0
j
dx
=
с
j
.
С точностью до величин порядка
ε
уравнения движения принима-
ют вид
¨
ϕ
j
+
ω
2
j
ϕ
j
=
−
3
εω
2
j
sin(
qtϕ
j
)
−
εω
j
δ
j
˙
ϕ
j
−
ε
(
β
j
+
μ
j
) sin(
qt
¨
ϕ
j
)
,
(9)
где
ω
2
j
= [
EJ
0
b
j
] [(
m
+
ρ
0
)
a
j
+
J
0
c
j
]
−
1
;
δ
j
= [
k
1
EJ
0
b
j
+
k
2
a
j
] [(
m
+
ρ
0
)
a
j
+
J
0
c
j
]
−
1
ω
−
1
j
;
β
j
=
ρ
1
a
j
[(
m
+
ρ
0
)
a
j
+
J
0
c
j
]
−
1
;
μ
j
=
J
0
c
j
[(
m
+
ρ
0
)
a
j
+
J
0
c
j
]
−
1
.
Анализ уравнения (9) показывает, что в первом приближении воз-
можны только основные параметрические резонансы
q
= 2
ω
j
, области
неустойчивости которых с точностью до величин порядка
ε
определя-
ются неравенствами:
2
ω
j
h
1
−
ε
4
q
γ
2
j
−
4
δ
2
j
i
< q <
2
ω
j
h
1 +
ε
4
q
γ
2
j
−
4
δ
2
j
i
.
(10)
Здесь
γ
j
= (
β
j
+
μ
j
)
−
3
— амплитуда параметрического возбужде-
ния. Как следует из выражения (10), факторами параметрического
возбуждения являются изменение момента инерции сечения (которое
86
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2008. № 3
