2
ω
j
1
−
ε
4
2
D
c
(
D
c
−
h
) (1 +
m
/
ρ
0
)
−
3
< q <
<
2
ω
j
1 +
ε
4
2
D
c
(
D
c
−
h
) (1 +
m
/
ρ
0
)
−
3
.
(12)
При малой толщине стенки трубы (
D
c
−
h
≈
D
c
)
выражение (12)
упрощается
2
ω
j
1
−
ε
4
2
(1 +
m
/
ρ
0
)
−
3
< q <
2
ω
j
1 +
ε
4
2
(1 +
m
/
ρ
0
)
−
3
.
(13)
Погрешность вычислений зоны неустойчивости по формуле (13) по
сравнению с (12) при соблюдении условия
h/D
0
6
17
−
3
m/ρ
0
2(1 + 3
m/ρ
0
не
превышает 5%. Из уравнения (13) следует, что область неустойчиво-
сти будет шире, когда погонная масса трубы больше погонной массы
жидкости. При условии
m
/
ρ
0
1
ширина области неустойчивости
становится равной
ε
/2
и выражение (10) еще более упрощается:
2
ω
j
1
−
D
0
p
1
8
E h
+ 4
D
0
p
0
< q <
2
ω
j
1 +
D
0
p
1
8
E h
+ 4
D
0
p
0
.
(14)
Формулу (14) можно применять, если
D
0
/h
6
20 (1 + 4
m
v
/ρ
v
)
.
При этом погрешность вычислений не превышает 5% по сравнению
с формулой (12).
Численное интегрирование системы дифференциальных уравне-
ний (9) подтвердило наличие найденных в первом приближении обла-
стей неустойчивости параметрических резонансов. Для толщин стенки
трубы
h
1
= 0
,
5
мм,
h
2
= 0
,
2
мм,
h
3
= 0
,
1
мм получены значения ча-
стот параметрических резонансов и зон неустойчивости, приведенные
в таблице.
Таблица
Толщина стенки, мм 1-й тон колебаний, 1/с
2-й тон колебаний, 1/с
0,5
2
ω
1
= 766
,
4 0
,
045
2
ω
2
= 2112
,
6 0
,
124
0,2
2
ω
1
= 512
,
3 0
,
064
2
ω
2
= 1412
,
3 0
,
175
0,1
2
ω
1
= 369
,
4 0
,
085
2
ω
2
= 1018
,
9 0
,
235
По результатам исследования можно сделать следующие выводы о
действии деформаций поперечного сечения трубы, вызываемых пуль-
сациями внутреннего давления в трубопроводе в качестве дестаби-
лизирующего фактора, вызывающего параметрические колебания. С
учетом принятых допущений деформации стенок трубопровода в пер-
вом приближении вызывают при рассмотренных граничных условиях
88
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2008. № 3
