Навье–Стокса, которая в криволинейных координатах
X
i
, связанных с
локальными декартовыми координатами
ξ
i
, имеет следующий вид:
r
ξ
∙
υ
(0)
= 0
, ξ
i
2
V
ξg
;
− r
ξ
p
(1)
+
μ
Δ
υ
(0)
=
r
x
p
(0)
, ξ
i
2
V
ξg
;
υ
(0)
= 0
, ξ
i
2
X
ξsg
;
[ [
υ
(0)
] ] = 0
,
[ [
p
(1)
] ] = 0
,
p
(1)
= 0
.
(1)
Здесь
υ
(0)
— вектор скорости газа в нулевом приближении МАО;
p
(0)
и
p
(1)
— давления в нулевом и первом приближении;
μ
— коэффи-
циент вязкости газа;
r
ξ
f
= r
i
∂f/∂X
i
= e
i
∂f/∂ξ
i
— набла-оператор
дифференцирования по локальным координатам;
r
x
f
=
e
i
∂f/∂
ˉ
x
i
—
набла-оператор дифференцирования по глобальным координатам;
r
i
= e
j
∂X
i
/∂ξ
j
— локальные векторы взаимного базиса;
e
j
— ор-
тонормированный декартов базис;
h
f
i
= (1
/ϕ
g
)
R
V
ξg
fdV
ξg
— оператор
осреднения по ячейке периодичности;
ϕ
g
=
R
V
ξg
dV
ξg
— пористость.
V
ξg
— область ячейки периодичности, заполненная газом (пора), а
P
ξsg
— поверхность раздела газа и твердой фазы в ЯП (твердая
стенка). В задачу (1) входят условия периодичности функций на про-
тиволежащих границах ЯП, которые обозначаются как
[ [
f
] ] = 0
.
Задача (1) рассматривается относительно четырех неизвестных
функций локальных координат
υ
(0)
(
ξ
j
)
и
p
(1)
(
ξ
j
)
, заданных в
V
ξg
,
причем вся область ЯП
V
ξ
в координатах
ξ
i
представляет собой куб:
−
1
/
2
< ξ
i
<
1
/
2
. Давление
p
(0)
(ˉ
x
j
)
, зависящее только от глобальных
координат, в задаче (1) полагается заданным, поэтому решение задачи
(1) параметрически зависит от
p
(0)
,i
(ˉ
x
j
)
.
Вследствие наличия интегрального условия
p
(1)
= 0
задача (1)
имеет интегродифференциальный тип, что в совокупности с наличием
условий периодичности делает ее непосредственное решение доста-
точно сложным даже для современных численных методов. Отметим
также, что функция
p
(1)
фактически представляет собой пульсацию да-
вления по отношению к нулевому приближению
p
(0)
(согласно МАО,
полное давление определено соотношением
κp
(1)
=
p
−
p
(0)
+
o
(
κ
)
,
где последнее слагаемое означает величины малые по сравнению с
κ
)
, поэтому функция
p
(1)
может быть как положительной, так и отри-
цательной, что также не характерно для классических задач газовой
динамики.
Сведение к локальной задаче на 1/4 ЯП.
Будем рассматривать да-
лее только двумерную осесимметричную пористую структуру (рис. 1),
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2008. № 3
91
